Роден е в градчето Оуенсбъроу, щат Кентъки, САЩ на 9 юни 1963 г. Той е син на Джон Кристофър – строителен инженер и Бети Сю Палмър – сервитьорка. Джони Деп има един брат – Дани и две сестри – Деби и Кристи. През 1970 г., когато Джони е на 7 години, семейството му се премества в Мирамар, Флорида.

През ученическите си години Джони започва да се занимава с музика и свири на китара в различни училищни банди. Родителите му се развеждат, когато той е на 15 години, а недълго след това Джони напуска училище. Той започва да се занимава по-сериозно с музика и през следващата година това се превръща в основното му занимание.