Узагальнена послідовність

Узагальнена послідовність ( також послідовність Мура — Сміта, направленість, також сітка, мережа від англійської net) в загальній топології — узагальнення поняття послідовності у якому областю визначення є довільна направлена множина (а не лише натуральні числа, як для звичайної послідовності).

Значення цього узагальнення полягає в тому, що воно дозволяє для довільних топологічних просторів дати твердження еквівалентні твердженням класичного аналізу. Зокрема через поняття збіжності узагальнених послідовностей можна охарактеризувати неперервність функцій, замкнутість і компактність множин так як це робиться у математичному аналізі.

Означення

Узагальненою послідовністю в топологічному просторі $X$ називається відображення з деякої направленої по зростанню множини $\mathrm {A}$ в $X$. Для узагальнених послідовностей використовуються позначення: $\left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} }$ або просто $\left\{x_{\alpha }\right\}$.

Будь-яка послідовність є узагальненою послідовністю, в цьому випадку направленою множиною є множина натуральних чисел $\mathbb {N}$.

Інший приклад узагальненої послідовності можна отримати розглянувши системи околів точок топологічного простору. Для деякої точки $x$ топологічного простору система околів $B_{x}$ із відношенням включення є направленою множиною: для двох околів $U,V\in B_{x}$ маємо $U\geqslant V$, якщо $U\subset V$. Якщо у кожному околі $U\in B_{x}$ вибрати довільну точку $x_{U}\in U$, то відображення $U\mapsto x_{U}$ є узагальненою послідовністю.

Пов'язані означення

Границя узагальненої послідовності

Узагальнена послідовність $\left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} }$ називається збіжною до точки $x$, якщо для будь-якого околу $V$ точки $x$ існує індекс $\alpha _{V}\in \mathrm {A}$ такий, що $x_{\alpha }\in V$ для будь-якого $\alpha \geqslant \alpha _{V}$. Точка $x$ називається границею узагальненої послідовності $\left\{x_{\alpha }\right\}$ і позначається $x_{\alpha }{\xrightarrow[{\mathrm {A} }]{}}x$.

Множина всіх границь узагальненої послідовності $\left\{x_{\alpha }\right\}$ позначається як $\lim _{\alpha \in \mathrm {A} }x_{\alpha }$. Якщо узагальнена послідовність має точно одну границю $x$, то пишуть $x=\lim _{\alpha \in \mathrm {A} }x_{\alpha }$

Узагальнена підпослідовність

Поняття підпослідовності можна узагальнити для узагальнених послідовностей. Узагальнена послідовність $\left\{y_{\beta }\right\}_{\beta \in \mathrm {B} }$ називається узагальненою підпослідовністю узагальненої послідовності $\left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} }$, якщо для будь-якого $\alpha \in \mathrm {A}$ існує такий індекс $\beta (\alpha )\in \mathrm {B}$, що для будь-якого $\beta '\geqslant \beta (\alpha )$ існує $\alpha '\geqslant \alpha$, що задовольняє рівності $x_{\alpha '}=y_{\beta '}$.

Фундаментальна узагальнена послідовність

Фундаментальна узагальнена послідовність (або узагальнена послідовність Коші) є узагальненням звичайної фундаментальної послідовності для рівномірних топологічних просторів.

Узагальнена послідовність $\left\{x_{\alpha }\right\}$ називається фундаментальною, якщо для будь-якого оточення $V$ існує елемент $\gamma$, такий що для всіх $\alpha ,\beta \geqslant \gamma$, елементи $(x_{\alpha },x_{\beta })\in V$.

Верхні і нижні границі узагальнених послідовностей

Для узагальненої послідовності $\left\{x_{\alpha }\right\}$ за означенням верхня границя є рівною

$\varlimsup _{\alpha }x_{\alpha }=\lim _{\alpha }\sup _{\beta \geqslant \alpha }x_{\beta }=\inf _{\alpha }\sup _{\beta \geqslant \alpha }x_{\beta }.$

Нижня границя за означенням є рівною:

$\varliminf _{\alpha }x_{\alpha }=\lim _{\alpha }\inf _{\beta \geqslant \alpha }x_{\beta }=\sup _{\alpha }\inf _{\beta \geqslant \alpha }x_{\beta }.$

Верхні і нижні границі узагальнених послідовностей задовольняють багато властивостей, що є справедливими для звичайних послідовностей. Наприклад:

$\varlimsup _{\alpha }(x_{\alpha }+y_{\alpha })\leqslant \varlimsup _{\alpha }x_{\alpha }+\varlimsup _{\alpha }y_{\alpha },$

і у випадку збіжності хоча б однієї узагальненої послідовності цей вираз перетворюється у рівність.

Властивості

• Нехай $E$ і $F$ — топологічні простори і $a\in E$. Відображення $f:E\to F$ є неперервною в точці $a$ тоді і тільки тоді, коли для будь-якої узагальненої послідовності $(x_{\alpha })_{\alpha \in I}$, що збігається до $a$ у просторі $E$, узагальнена послідовність $(f(x_{i}))_{i\in I}$ збігається до точки $f(a)$ у просторі $F$.

Якщо $f$ є неперервною в точці $a$, то для кожного околу $V$ точки $f(a)$ у просторі $F$, множина $f^{-1}(V)$ є околом $a$ у $E$. Тому якщо $(x_{\alpha })_{\alpha \in I}$ є узагальненою послідовністю, що збігається до точки $a$ у $E$ то існує $\alpha \in I$ для якого $x_{\beta }\in f^{-1}(V)$ для всіх $\beta \geq \alpha$, тобто $f(x_{\beta })\in V$, і $(f(x_{\alpha }))_{\alpha \in I}$ збігається до $f(a)$ у $F$.

Навпаки, припустимо, що $f$ не є неперервною в точці $a$ і позначимо $({\mathcal {F}},\supset )$ направлену систему околів точки $a$. Існує окіл $V$ точки $f(a)$ у $F$, такий що для всіх $U\in {\mathcal {F}}$, $f(U)\not \subset V$. Оберемо точки $x_{U}\in U\cap \complement \left[f^{-1}(V)\right]$ для всіх $U\in {\mathcal {F}}$ (з використанням аксіоми вибору). Тоді $(x_{U})_{U\in {\mathcal {F}}}$ збігається до $a$ в $E$ але $(f(x_{U}))_{U\in {\mathcal {F}}}$ не збігається до $f(a)$ у $F$.

• Якщо топологічний простір є гаусдорфовим, то кожна збіжна узагальнена послідовність має точно одну границю. Навпаки, якщо кожна збіжна узагальнена послідовність має точно одну границю, то простір є гаусдорфовим.

• Поняття границі узагальненої послідовності тісно пов'язане з поняттям точки дотику: точка є точкою дотику множини тоді і тільки тоді, коли існує збіжна до цієї точки узагальнена послідовність елементів цієї множини.

• Підмножина топологічного простору є замкнутою тоді і тільки тоді, коли для кожної збіжної узагальненої послідовності її елементів границя послідовності теж належить цій множині.

• Узагальнена послідовність є збіжною тоді і тільки тоді коли всі її узагальнені підпослідовності є збіжними. Границя узагальненої послідовності тоді є рівною границі будь-якої її підпослідовності.

• Топологічний простір є компактним тоді і тільки тоді, коли для кожної узагальненої послідовності його елементів існує збіжна узагальнена підпослідовність.

Нехай X є компактним. Якщо I є деякою множиною і $\{C_{i}\}_{i\in I}$ — сім'єю замкнутих підмножин X таких що $\bigcap _{i\in J}C_{i}\neq \emptyset$ для кожної скінченної підмножини $J\subseteq I$. Тоді також $\bigcap _{i\in I}C_{i}\neq \emptyset$. В іншому разі, $\{C_{i}^{c}\}_{i\in I}$ було б відкритим покриттям X для якого не існувало б скінченного підпокриття, що неможливо. Нехай A — направлена множина і $\langle x_{\alpha }\rangle _{\alpha \in A}$ — узагальнена послідовність у X. Для всіх $\alpha \in A$ позначимо $E_{\alpha }\triangleq \{x_{\beta }:\beta \geq \alpha \}.$ Сім'я множин $\{\operatorname {cl} (E_{\alpha }):\alpha \in A\}$ має властивість, що довільна скінченна підмножина множин має непустий перетин. Тому також $\bigcap _{\alpha \in A}\operatorname {cl} (E_{\alpha })\neq \emptyset$. Ця множина буде множиною точок дотику узагальненої послідовності $\langle x_{\alpha }\rangle _{\alpha \in A}$, що є рівною точкам збіжності узагальнених підпослідовностей у $\langle x_{\alpha }\rangle _{\alpha \in A}$. Тому $\langle x_{\alpha }\rangle _{\alpha \in A}$ має збіжну узагальнену підпослідовність.

Навпаки припустимо, що кожна узагальнена послідовність у X має збіжну узагальнену підпослідовність. Припустимо, що $\{U_{i}:i\in I\}$ є відкритим покриттям X, що не містить скінченного підпокриття. Розглянемо $D\triangleq \{J\subset I:|J|<\infty \}$. Тоді D є направленою множиною щодо включення і для кожної $C\in D$, існує $x_{C}\in X$ таке що $x_{C}\notin U_{a}$ для всіх $a\in C$. Розглянемо узагальнену послідовність $\langle x_{C}\rangle _{C\in D}$. Для неї не існує збіжної узагальненої підпослідовності, тому що для всіх $x\in X$ існує $c\in I$ таке що $U_{c}$ є околом x;проте для всіх $B\supseteq \{c\}$, маємо $x_{B}\notin U_{c}$. Ця суперечність завершує доведення.

Див. також

• Послідовність
• Фільтр (порядок)

Література

• Gaal, Steven A.(1966), Point set topology, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47222-5 (англ.)
• Kelley, John L. (1991). General Topology. Springer. ISBN 3-540-90125-6.
• Willard, Stephen (2004). General Topology. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.