Похідна за напрямком

Вибрані статті із
Числення
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Ролля Теорема Лагранжа Теорема про обернену функцію
Диференціальне Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Нотація Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Частка Степінь Складена функція Обернена функція Правило Лейбніца Формула Фаа ді Бруно
Інтегральне Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний Рімана Лебега Стілтьєса Даніелла) Інтегрування частинами дисками Методи інтегрування
Рядів Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Знакопереміжні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Границя доданків Пряме порівняння Порівняння границь д'Аламбера Радикальна Інтегральна Теорема Лейбніца Стиснення Коші Діріхле Абеля
Векторів Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Градієнтна Гріна Остроградського Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізоване Дробове Стохастичне Варіаційне
інше Історія Математичний аналіз Нестандартний аналіз

У математиці, зокрема математичному аналізі похідною за напрямком у деякій точці називається величина, що інтуїтивно показує швидкість зміни значення функції під час руху в напрямку деякого вектора.

Поняття похідної за напрямком узагальнює часткові похідні, які є похідними в напрямку координатних прямих.

У випадку аналізу на многовидах узагальненням похідної за напрямком є дотичний вектор.

Формальне визначення

Похідною функції

$f(p)=f(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n})$

за напрямком

$\mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})$

є функція визначена рівністю:

$\nabla _{\mathbf {v} }{f}(p)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(p+h\mathbf {v} )-f(p)}{h}}.$

Властивості

Властивості оператора $\nabla _{\mathbf {v} }$

Похідна по напрямку має багато властивостей, які задовольняє і звичайна похідна. Нижче $\mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})$— деякий фіксований вектор, а f і g — функції визначені в деякому околі точки p для яких в цій точці існує похідна за напрямком v. Тоді справедливі наступні твердження:

• Правило суми:

$\nabla _{\mathbf {v} }(f+g)=\nabla _{\mathbf {v} }f+\nabla _{\mathbf {v} }g$

• Множення на константу: Для довільного числа $c\in \mathbb {R}$ ,

$\nabla _{\mathbf {v} }(cf)=c\nabla _{\mathbf {v} }f$

• Правило добутку:

$\nabla _{\mathbf {v} }(fg)=g\nabla _{\mathbf {v} }f+f\nabla _{\mathbf {v} }g$

• Правило частки: Якщо також $g(x)\neq 0,$ то

$\nabla _{\mathbf {v} }\left({\frac {f}{g}}\right)=(g\nabla _{\mathbf {v} }f-f\nabla _{\mathbf {v} }g)g^{-2}$

• Диференціювання складеної функції: Якщо g має похідну по напрямку v в точці p, а функція h є диференційовною в точці g(p), То

$\nabla _{\mathbf {v} }(h\circ g)(p)=h'(g(p))\nabla _{\mathbf {v} }g(p).$

Властивості простору похідних за напрямками

• Нехай для функції f в точці p існує похідна за напрямком v. Тоді для цієї функції в точці p існує похідна за напрямком cv для довільного числа $c\in \mathbb {R}$ і виконується рівність:

$\nabla _{c\mathbf {v} }(f)=c\nabla _{\mathbf {v} }f.$

• Якщо функція $\nabla _{\mathbf {v} }{f}(p)$ визначена в деякому околі точки p і неперервна в цій точці і також у точці p існує похідна функції f за напрямком $\mathbf {u} =(u_{1},\ldots ,u_{n})$ то визначена також $\nabla _{\mathbf {v+u} }{f}(p)$ і виконується рівність:

$\nabla _{\mathbf {v+u} }{f}(p)=\nabla _{\mathbf {v} }{f}(p)+\nabla _{\mathbf {u} }{f}(p)$

• З попереднього також випливає що якщо всі часткові похідні ${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(p)$ є визначені в околі точки p і неперервні в ній то існує похідна $\nabla _{\mathbf {v} }{f}(p)$ для довільного вектора $\mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})$ і вона рівна:

$\nabla _{\mathbf {v} }{f}(p)=\sum _{i=1}^{n}v_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(p).$

Множина похідних за напрямком у цьому випадку є векторним простором розмірності n.

Випадок диференційовних функцій

Якщо функція $f$ є диференційовною в точці $p$, тоді в цій точці функція має похідні по усіх напрямках і

$\nabla _{\mathbf {v} }{f}(p)=\nabla {f}(p)\cdot \mathbf {v}$

де $\nabla$ — градієнт функції, а $\cdot$ — скалярний добуток.

Доведення

Для диференційовної функції в точці $p$ маємо:

$f(p+h\mathbf {v} )=f(p)+\nabla f(p)\cdot h\mathbf {v} +o(h)$

Звідси отримуємо:

$\nabla _{\mathbf {v} }{f}(p)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(p+h\mathbf {v} )-f(p)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\nabla f(p)\cdot h\mathbf {v} +o(h)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\nabla f(p)\cdot h\mathbf {v} }{h}}+\lim _{h\to 0}{\frac {o(h)}{h}}$

І оскільки згідно означення:

$\lim _{h\to 0}{\frac {o(h)}{h}}=0$

Остаточно отримуємо:

$\nabla _{\mathbf {v} }{f}(p)=\nabla f(p)\cdot \mathbf {v}$

Приклад

Загалом проте функція може бути недиференційовною навіть якщо вона має похідні за всіма напрямками.

Прикладом є функція $f(x,y)={\sqrt[{3}]{x^{2}y}}.$ Для неї ${\frac {\partial f}{\partial x}}(0,0)={\frac {\partial f}{\partial y}}(0,0)=0$ і загалом для вектора $\mathbf {v} =(v_{1},v_{2})$ похідна за напрямком $\nabla _{\mathbf {v} }(f)(0,0)={\sqrt[{3}]{v_{1}^{2}v_{2}}}.$ Якщо $v_{1},v_{2}\neq 0,$ то очевидно $\nabla _{\mathbf {v} }(f)\neq 0,$ тоді як $\nabla f(0,0)\cdot \mathbf {v} =0.$ Тож $\nabla f(0,0)\cdot \mathbf {v} \neq \nabla _{\mathbf {v} }(f)(0,0)$і функція не може бути диференційовною.

Характеристика похідних за напрямком для диференціальних функцій

Якщо деякий оператор $D(f),$ що кожній диференційовній в околі точки p функції присвоює деяке дійсне число, задовольняє описаним вище правилам суми, добутку і множення на константу то $D(f)=\nabla _{\mathbf {v} }{f},$ для деякого вектора $\mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n}).$

Доведення

Функція f згідно означення є диференційовною зокрема в деякій кулі з центром у точці $p=(p_{1},\ldots ,p_{n})$. Позначаючи $y=(y_{1},\ldots ,y_{n})$ — деяку точку в цій кулі можна записати:

${\begin{aligned}f(y_{1},\ldots ,y_{n})=&f(y_{1},\ldots ,y_{n})-f(y_{1},\ldots ,y_{n-1},p_{n})+\\&f(y_{1},\ldots ,y_{n-1},p_{n})-f(y_{1},\ldots ,y_{n-2},p_{n-1},p_{n})+\ldots +\\&f(y_{1},p_{2},\ldots ,p_{n})-f(p_{1},\ldots ,p_{n})+f(p_{1},\ldots ,p_{n}).\end{aligned}}$

Зважаючи, що

$f(y_{1},\ldots ,y_{k},p_{k+1},\ldots ,p_{n})-f(y_{1},\ldots ,y_{k-1},p_{k},\ldots ,p_{n})=\int _{0}^{1}{df \over dx_{k}}{\Big (}y_{1},\ldots ,p_{k}+t(y_{k}-p_{k}),p_{k+1},\ldots ,p_{n}{\Big )}(y_{k}-p_{k})dt$

де ${df \over dx_{k}}$позначає часткову похідну по k - ій змінній, можна записати:

$f(y_{1},\ldots ,y_{n})=f(p_{1},\ldots ,p_{n})+\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-p_{i})f_{i}(y_{1},\ldots ,y_{n}),$

де $f_{k}(y_{1},\ldots ,y_{n})=\int _{0}^{1}{df \over dx_{k}}{\Big (}y_{1},\ldots ,p_{k}+t(y_{k}-p_{k}),p_{k+1},\ldots ,p_{n}{\Big )}dt.$

Зокрема $f_{k}(p_{1},\ldots ,p_{n})={df \over dx_{k}}(p_{1},\ldots ,p_{n}).$ З властивостей оператора маємо $D(c)=cD(1)=cD(1\cdot 1)=c(1\cdot D(1)+D(1)\cdot 1)=2cD(1)\implies D(c)=0,$

де c — довільна стала функція.

Тому з використанням попереднього запису функції в межах кулі:

${\begin{aligned}D(f)(p)&=\sum _{i=1}^{n}{\Big (}D(x_{i})f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})+(x_{i}-p_{i})D(f(x_{1},\ldots ,x_{n})){\Big )}(p)\\&=\sum _{i=1}^{n}(D(x_{i})f_{i})(p)\end{aligned}}$

Позначивши $v_{i}:=D(x_{i})$ і зважаючи, що $f_{k}(p)={df \over dx_{k}}(p)$ маємо $D(f)(p)=\nabla {f}(p)\cdot \mathbf {v} ,$ тобто $D(f)(p)$ є похідною в напрямку $\mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n}).$

Напрямок найшвидшого зростання функції

Оскільки похідну за напрямком можна інтерпретувати, як швидкість зміни функції піч час руху в даному напрямку, то природно виникає питання про напрямок по якому функція зростає найшвидше.

Оскільки похідна за напрямком пропорційна довжині вектора то це питання має зміст лише при розгляді векторів однієї довжини, наприклад одиничних векторів. Тоді можна записати $\mathbf {v} =(\cos \alpha _{1},\ldots ,\cos \alpha _{n}),$ де $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ — кути між вектором $\mathbf {v}$ і базисними векторами $\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}.$

Для довільного такого вектора можна записати:

$\nabla _{\mathbf {v} }{f}(p)=\nabla {f}(p)\cdot \mathbf {v} =|\nabla {f}(p)|\left({\frac {\nabla {f}(p)}{|\nabla {f}(p)|}}\cdot \mathbf {v} \right)=|\nabla {f}(p)|\cdot \cos \gamma$, де $\gamma$ — кут між одиничними векторами ${\frac {\nabla {f}(p)}{|\nabla {f}(p)|}}$ і $\mathbf {v}$. Очевидно, що значення косинуса буде найбільшим коли ці вектори будуть рівними, тобто $\mathbf {v} ={\frac {\nabla {f}(p)}{|\nabla {f}(p)|}}.$ Тоді $\nabla _{\mathbf {v} }{f}(p)=|\nabla {f}(p)|={\sqrt {\left({df \over dx_{1}}\right)^{2}+\ldots +\left({df \over dx_{n}}\right)^{2}}}.$

Отож напрямок найшвидшого зростання функції задається вектором ${\frac {\nabla {f}(p)}{|\nabla {f}(p)|}},$ а сама швидкість зростання в цьому напрямку рівна $|\nabla {f}(p)|.$

Див. також

• Похідна
• Часткова похідна
• Дотичний вектор
• Дотичний простір
• Похідна Гато
• Структурний тензор — тензор, пов'язаний з градієнтами

Література

• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 2. — К. : Либідь, 1994. — 304 с. — ISBN 5-325-00351-X.(укр.)
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)