Перетин прямої і площини

Три можливих випадки перетину прямої і площини:
1. Нема перетину.
2. Перетин в точці.
3. Перетин є прямою.

В аналітичній геометрії, перетин прямої і площини може бути порожньою множиною, точкою, або прямою. Розрізнення цих випадків, і визначення рівнянь для точки і прямої має своє застосування комп'ютерній графіці, плануванні руху, і виявленні зіткнень.

Алгебраїчна форма

У векторному представленні, площину можна задати у вигляді набору точок $\mathbf {p}$ для яких

$(\mathbf {p} -\mathbf {p_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0$

де $\mathbf {n}$ — вектор нормалі, що перпендикулярний площині і $\mathbf {p_{0}}$ є точкою на площині. (Це представлення $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$ означає скалярний добуток двох векторів $\mathbf {a}$ і $\mathbf {b}$.)

Векторне рівняння прямої є наступним:

$\mathbf {p} =d\mathbf {l} +\mathbf {l_{0}} \quad d\in \mathbb {R}$

де $\mathbf {l}$ це вектор, який вказує напрям прямої, $\mathbf {l_{0}}$ точка на цій прямій, і $d$ це скаляр в дійсній області чисел. Підставляючи рівняння прямої в рівняння площини, отримуємо

$(d\mathbf {l} +\mathbf {l_{0}} -\mathbf {p_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0$

Розкривши дужки, маємо:

$d\mathbf {l} \cdot \mathbf {n} +(\mathbf {l_{0}} -\mathbf {p_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0$

І вирішуючи для $d$

$d={(\mathbf {p_{0}} -\mathbf {l_{0}} )\cdot \mathbf {n} \over \mathbf {l} \cdot \mathbf {n} }.$

Якщо $\mathbf {l} \cdot \mathbf {n} =0$ пряма і площина є паралельними. Матимемо два випадки: якщо $(\mathbf {p_{0}} -\mathbf {l_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0$ пряма знаходиться на площині, що означає, що пряма перетинає площину в кожній точці прямої. В іншому випадку, пряма і площина не мають перетину.

Якщо $\mathbf {l} \cdot \mathbf {n} \neq 0$ існує єдина точка перетину. Значення $d$ можна розрахувати і точку перетину можна визначити наступним чином:

$d\mathbf {l} +\mathbf {l_{0}}$.

Параметрична форма

Перетин прямої і площини.

Пряма описується всіма точками на прямій і напрямом від конкретної точки. Таким чином будь-яка довільна точка на прямій може бути задана наступним чином

$\mathbf {l} _{a}+(\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a})t,\quad t\in \mathbb {R}$

де $\mathbf {l} _{a}=(x_{a},y_{a},z_{a})$ and $\mathbf {l} _{b}=(x_{b},y_{b},z_{b})$ є двома різними точками на прямій.

Таким же чином будь-яка довільна точка на площині може бути представлена як:

$\mathbf {p} _{0}+(\mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{0})u+(\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{0})v,\quad u,v\in \mathbb {R}$

де $\mathbf {p} _{k}=(x_{k},y_{k},z_{k})$, $k=0,1,2$ це три точки на площині, які не є колінеарними.

Точка, в якій пряма перетинає площину, таким чином описується рівнянням в якому точка на прямій дорівнює точці на площині, і задається наступним параметричним рівнянням:

$\mathbf {l} _{a}+(\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a})t=\mathbf {p} _{0}+(\mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{0})u+(\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{0})v$

Це можна записати як

$\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0}=(\mathbf {l} _{a}-\mathbf {l} _{b})t+(\mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{0})u+(\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{0})v,$

що можна представити в матричній формі, як:

${\begin{bmatrix}x_{a}-x_{0}\\y_{a}-y_{0}\\z_{a}-z_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{a}-x_{b}&x_{1}-x_{0}&x_{2}-x_{0}\\y_{a}-y_{b}&y_{1}-y_{0}&y_{2}-y_{0}\\z_{a}-z_{b}&z_{1}-z_{0}&z_{2}-z_{0}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}$

Точка перетину буде дорівнювати наступному:

$\mathbf {l} _{a}+(\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a})t$

Якщо лінія паралельна площині тоді вектори $\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a}$, $\mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{0}$, і $\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{0}$ будуть лінійно залежними і матриця буде виродженою. Ця ситуація також виникає, коли пряма знаходиться на площині.

Якщо рішення задовольняє умову $t\in [0,1],$, тоді точка перетину знаходиться на прямій між $\mathbf {l} _{a}$ і $\mathbf {l} _{b}$.

Якщо рішення задовольняє

$u,v\in [0,1],\;\;\;(u+v)\leq 1,$

тоді точка перетину знаходиться на площині в межах трикутника, що заданий трьома точками $\mathbf {p} _{0}$, $\mathbf {p} _{1}$ і $\mathbf {p} _{2}$.

Ця задача зазвичай вирішується у матричній формі, і за допомогою інверсії отриманої матриці:

${\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{a}-x_{b}&x_{1}-x_{0}&x_{2}-x_{0}\\y_{a}-y_{b}&y_{1}-y_{0}&y_{2}-y_{0}\\z_{a}-z_{b}&z_{1}-z_{0}&z_{2}-z_{0}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}x_{a}-x_{0}\\y_{a}-y_{0}\\z_{a}-z_{0}\end{bmatrix}}.$

Посилання

• Точка перетину прямої і площини // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 137. — 594 с.
• Intersections of Lines, Segments and Planes (2D & 3D) from GeomAlgorithms.com