де — вектор нормалі, що перпендикулярний площині і є точкою на площині.
(Це представлення означає скалярний добуток двох векторів і .)
Векторне рівняння прямої є наступним:
де це вектор, який вказує напрям прямої, точка на цій прямій, і це скаляр в дійсній області чисел.
Підставляючи рівняння прямої в рівняння площини, отримуємо
Розкривши дужки, маємо:
І вирішуючи для
Якщо пряма і площина є паралельними. Матимемо два випадки: якщо пряма знаходиться на площині, що означає, що пряма перетинає площину в кожній точці прямої. В іншому випадку, пряма і площина не мають перетину.
Якщо існує єдина точка перетину. Значення можна розрахувати і точку перетину можна визначити наступним чином:
Пряма описується всіма точками на прямій і напрямом від конкретної точки. Таким чином будь-яка довільна точка на прямій може бути задана наступним чином
де and
є двома різними точками на прямій.
Таким же чином будь-яка довільна точка на площині може бути представлена як:
де ,
це три точки на площині, які не є колінеарними.
Точка, в якій пряма перетинає площину, таким чином описується рівнянням в якому точка на прямій дорівнює точці на площині, і задається наступним параметричним рівнянням:
Це можна записати як
що можна представити в матричній формі, як:
Точка перетину буде дорівнювати наступному:
Якщо лінія паралельна площині тоді вектори , , і будуть лінійно залежними
і матриця буде виродженою. Ця ситуація також виникає, коли пряма знаходиться на площині.
Якщо рішення задовольняє умову , тоді точка перетину знаходиться на прямій між і .
Якщо рішення задовольняє
тоді точка перетину знаходиться на площині в межах трикутника, що заданий трьома точками , і .
Ця задача зазвичай вирішується у матричній формі, і за допомогою інверсії отриманої матриці:
Точка перетину прямої і площини // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 137. — 594 с.