Мрія другокурсника (математична тотожність)

Мрія другокурсника
Названо на честь	мрія першокурсника
Формула	$\int _{0}^{1}x^{-x}\,\mathrm {d} x=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}$
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика

У математиці мрія другокурсника або мрія софомора (англ. sophomore — студент-другокурсник у США) — пара тотожностей:

$\int \limits _{0}^{1}x^{-x}dx=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}$

$\int \limits _{0}^{1}x^{x}dx=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}n^{-n}=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}$

Історія

Тотожності відкрив 1697 року Йоганн Бернуллі. Числові значення цих констант становлять приблизно 1.291285997 і 0.7834305107, відповідно.

Назва «мрія другокурсника» з'явилась пізніше. Вона є відсиланням до «мрії першокурсника», яка означає жартівливу хибну тотожність $(x+y)^{n}=x^{n}+y^{n}$. Однак, на відміну від неї, мрія другокурсника — пара істинних тотожностей.

Доведення

Доведення цих тотожностей аналогічні, тому тут наведемо тільки одне з них.

Спочатку, подамо $x^{x}$ як:

$x^{x}=\exp(x\log x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}$.

Тоді

$\int \limits _{0}^{1}x^{x}dx=\int \limits _{0}^{1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}dx$.

За властивістю рівномірної збіжності степеневих рядів можна поміняти місцями підсумовування й інтеграл. Одержимо:

$\int \limits _{0}^{1}x^{x}dx=\sum _{n=0}^{\infty }\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}dx$.

Щоб отримати наведені вище інтеграли, замінимо змінну $x=\exp \left(-{\frac {u}{n+1}}\right)$. Після цієї заміни межі інтеграла перетворюються на $0<u<\infty$, що дає нам:

$\int \limits _{0}^{1}x^{n}(\log x)^{n}dx=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}\int \limits _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}du$.

За інтегральною тотожністю Ейлера для гамма-функції:

$\int \limits _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}du=n!$,

тому:

$\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}dx=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}$.

Підсумувавши і змінивши індексацію (вона починається з n=1, а не з n=0), отримаємо шукану тотожність.

Версії доведень

Початкове доведення, яке дав Бернуллі і подане в сучасному вигляді, відрізняється від наведеного вище в частині розрахунку інтеграла $\int _{0}^{1}x^{n}(\log \,x)^{n}\,dx$, але в іншому ідентичне за винятком технічних деталей. Замість інтегрування методом підстановки, використовуючи гамма-функцію (яка на момент доведення ще не була відома), Бернуллі використав інтегрування частинами.