Мрія другокурсника (математична тотожність)
Мрія другокурсника | |
Названо на честь | мрія першокурсника |
---|---|
Формула | |
Підтримується Вікіпроєктом | Вікіпедія:Проєкт:Математика |
У математиці мрія другокурсника або мрія софомора (англ. sophomore — студент-другокурсник у США) — пара тотожностей:
Тотожності відкрив 1697 року Йоганн Бернуллі. Числові значення цих констант становлять приблизно 1.291285997 і 0.7834305107, відповідно.
Назва «мрія другокурсника» з'явилась пізніше. Вона є відсиланням до «мрії першокурсника», яка означає жартівливу хибну тотожність . Однак, на відміну від неї, мрія другокурсника — пара істинних тотожностей[1].
Доведення цих тотожностей аналогічні, тому тут наведемо тільки одне з них.
Спочатку, подамо як:
.
Тоді
.
За властивістю рівномірної збіжності степеневих рядів можна поміняти місцями підсумовування й інтеграл. Одержимо:
.
Щоб отримати наведені вище інтеграли, замінимо змінну . Після цієї заміни межі інтеграла перетворюються на , що дає нам:
.
За інтегральною тотожністю Ейлера для гамма-функції:
,
тому:
.
Підсумувавши і змінивши індексацію (вона починається з n=1, а не з n=0), отримаємо шукану тотожність.
Початкове доведення, яке дав Бернуллі[2] і подане в сучасному вигляді[3], відрізняється від наведеного вище в частині розрахунку інтеграла , але в іншому ідентичне за винятком технічних деталей. Замість інтегрування методом підстановки, використовуючи гамма-функцію (яка на момент доведення ще не була відома), Бернуллі використав інтегрування частинами.
- ↑ Borwein, Jonathan; Bailey, David H.; Girgensohn, Roland (2004), Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery, с. 4, 44, ISBN 978-1-56881-136-9
- ↑ Johann Bernoulli, 1697, collected in Johannis Bernoulli, Opera omnia, vol. 3, pp. 376–381
- ↑ Dunham, William (2005), 3: The Bernoullis (Johann and ), The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue, Princeton, NJ: Princeton University Press, с. 46—51, ISBN 978-0-691-09565-3