Лінійно незалежні вектори

Лінійно незалежні вектори (лінійна незалежність множини векторів) — множина векторів, які не утворюють тривіальних лінійних комбінацій рівних нулю.

Визначення

Якщо $V\!$ векторний простір над полем $K\!$ і множина векторів $M\subseteq V\!$.

• $M\!$ називається лінійно незалежною, якщо будь-яка його скінченна підмножина є лінійно незалежною.
• Скінченна множина $\ M'=\{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}$ називається лінійно незалежною, якщо лінійна комбінація векторів дорівнює нулю тільки в тривіальному випадку, тобто:

$\forall a_{1},\cdots ,a_{n}\in K:\quad a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\ldots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=0\quad \iff \quad a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=0.$

• Якщо існує така лінійна комбінація векторів рівна нулю з хоча б одним $a_{i}\neq 0$, то $M'\!$ називається лінійно залежною.

Властивості

• Якщо $0\in M$, то $M\!$ є лінійно залежна.
• Якщо $M\!$ лінійно незалежна, то $M'\!$ лінійно незалежна для всіх $M'\subseteq M$.
• Якщо $M\!$ лінійно залежна, то $M'\!$ лінійно залежна для всіх $M'\supseteq M$.

Застосування

• Система лінійних алгебраїчних рівнянь має однозначний розв'язок тоді і тільки тоді, коли стовпці її матриці є лінійно незалежними.

• Ранг матриці дорівнює кількості її лінійно незалежних рядків чи стовпців.

• Базис векторного простору також є множиною лінійно незалежних векторів.

• Геометричний зміст:
  • Вектори ${\vec {a}},\;{\vec {b}}$ лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.
  • Вектори ${\vec {a}},\;{\vec {b}},\;{\vec {c}}$ лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони компланарні.

Джерела

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — ISBN 5791300158.(рос.)
• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 400+ с.(укр.)