Білінійне відображення

Білінійне відображення — це відображення декартового добутку V × W в X

B : V × W → X, (V,W,X — векторні простори над одним і тим самим полем F)

що володіє властивістю лінійності за кожним зі своїх аргументів.

Тобто для кожного w з W відображення

v → B(v, w) є лінійним відображенням з V в X.

І для кожного v з V відображення

w → B(v, w) є лінійним відображенням з W в X.

- це лінійне відображення від $W$ до $X$ . Іншими словами, коли ми тримаємо перший запис білінійного відображення фіксованим, дозволяючи другому запису змінюватися, результат є лінійним оператором і аналогічно, коли ми тримаємо другий запис фіксованим. У випадку Таке відображення $B$ задовольняє наступним властивостям.

$\forall \lambda \in \mathbb {F} :\quad B(\lambda v,w)=B(v,\lambda w)=\lambda B(v,w)$ .
Відображення $B$ є добавкою в обох компонентах: якщо $v_{1},v_{2}\in V$ і $w_{1},w_{2}\in W$ , тоді

$B(v_{1}+v_{2},w)=B(v_{1},w)+B(v_{2},w)$ and $B(v,w_{1}+w_{2})=B(v,w_{1})+B(v,w_{2})$ . Якщо V = W, і ми маємо B(v, w) = B(w, v) для всіх v, w in V, то ми говоримо , що B є симетричним . Якщо X - базове поле F , то відображення називають білінійною формою, яка добре вивчена (див., Наприклад, скалярний добуток, внутрішній добуток і квадратична форма).

Модулі

Роботи визначення без будь - яких змін , якщо замість векторних просторів над полем F , ми використовуємо модулі над комутативним кільцем R. Він узагальнює n-ари функції, де власний термін є мультилінійним. Для некомутативних кілець R і S, лівого R -модуля M і правого S -модуля N білінійне відображення - це відображення B : M × N → T з T (R, S) - бімодуля , і для якої будь-який n в N , m ↦ B(m, n) - R - модульний гомоморфізм, і для будь-якого m в M , n ↦ B(m, n) - модульний гомоморфізм. Це задовольняє

B(r ⋅ m, n) = r ⋅ B(m, n)

B(m, n ⋅ s) = B(m, n) ⋅ s

для всіх m в M , n в N , r в R і s в S , а також B, який є адитивним у кожному аргументі.

Властивості

$B(x,y)=0\iff x=0,y=0$

Приклади

Множення матриць є білінійним відображенням M(m,n) × M(n,p) → M(m,p).
Для векторного простору V над полем F, білінійна форма в V — це білінійне відображення V × V → F.
Векторний добуток в R³ є білінійним відображенням R³ × R³ → R³.