Доказові обчислення

Доказові обчислення — цілеспрямовані комп'ютерні обчислення, комбіновані з аналітичними дослідженнями, які призводять до строгого встановлення нових фактів і доведення теорем.

Достовірні обчислення

Одним із часто застосовуваних методів доказових обчислень є достовірні обчислення. Під достовірними обчисленнями мають на увазі чисельні методи з автоматичною верифікацією точності одержуваних результатів. Досить часто доказові обчислення будуються на основі інтервального аналізу, де замість дійсних чисел розглядаються інтервали, які визначають точність величин. Інтервальний аналіз широко застосовується для обчислень з гарантованою точністю в умовах машинної арифметики.

Приклади

У теорії чисел

Завдяки тому, що теорія чисел багато в чому оперує цілими числами, використання доказових обчислень у теорії чисел виявляється дуже плідним.

• Стверджується, що число Мерсенна $M_{43112609}=2^{43112609}-1$ є простим. Перевірити цей факт теоретично може людина, але практично — лише з використанням обчислювальної техніки.
• Л. Ейлер висунув гіпотезу, що рівняння $x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}=x_{5}^{5}$ не має розв'язків у цілих додатних числах. Проте пізніше було показано, що існує принаймні один розв'язок:

$x_{1}=27$, $x_{2}=84$, $x_{3}=110$, $x_{4}=133$, $x_{5}=144$.

Причому цей розв'язок знайдено шляхом перебору на комп'ютері.

У теорії графів

Одним з найвідоміших успішних застосувань доказових обчислень у теорії графів є розв'язання проблеми чотирьох фарб. Цю відому задачу поставлено 1852 року і сформульовано так: «з'ясувати, чи можна кожну розташовану на сфері карту розфарбувати чотирма фарбами так, щоб будь-які дві ділянки, які мають спільну межу, були розфарбовані в різні кольори». 1976 року К. Аппель і В. Гакен за допомогою доказових обчислень показали, що так можна розфарбувати будь-яку карту.

У гідродинаміці

Застосуванням доказових обчислень у математичних задачах гідродинаміки систематично займалися в Інституті прикладної математики ім. М. В. Келдиша РАН під керівництвом К. І. Бабенка. Прикладом є така теорема, отримана з допомогою доказових обчислень:

Теорема. При $\alpha =1.02$ і $R=6000$ спектральна задача Орра — Зоммерфельда має власне значення, яке лежить у півплощині $\mathrm {Re} \,\lambda >0$. Отже, в лінеаризованій постановці за цих параметрів течія Пуазейля нестійка.

Ще приклади

• Проблема трійок Буля — Піфагора.
• Класифікація багатогранників Джонсона.

Див. також

• Доведення
• Експериментальна математика

Література

• Панков П.С. Доказательные вычислениях на электронно-вычислительных машинах. — Фрунзе : Илим, 1978. — 179 с.
• К. И. Бабенко. О доказательных вычислениях и математическом эксперименте на ЭВМ // УМН. — 1985. — Т. 40, № 4(244) (26 грудня). — С. 137—138.
• Бабенко К. И., Петрович В. Ю., Рахманов А. И. О доказательном эксперименте в теории поверхностных волн конечной амплитуды // Докл. АН. . — 1988. — Т. 303, № 5 (26 грудня). — С. 1033—1037.

Посилання

• Інтервальний аналіз та його застосування [Архівовано 31 жовтня 2020 у Wayback Machine.]