Довірчий інтервал
![]() | Ця стаття є сирим перекладом з російської мови. Можливо, вона створена за допомогою машинного перекладу або перекладачем, який недостатньо володіє обома мовами. (січень 2017) |
Довірчий інтервал (англ. confidence interval, CI) — у математичній статистиці є типом інтервальної оцінки[en], яку обчислюють за даними спостереження, і яка покриває невідомий статистичний параметр із заданою надійністю. Це інтервал, у межах якого з заданою довірчою імовірністю можна чекати значення оцінюваної (шуканої) випадкової величини. Застосовують для повнішої оцінки точності порівняно з точковою оцінкою. Метод довірчих інтервалів розробив американський статистик Єжи Нейман, виходячи з ідей англійського статистика Рональда Фішера.
Наприклад, можна сказати: результати опитування показали, що кандидат набере на виборах 40 % голосів. Проте математично правильніше сказати: з імовірністю 90 % кількість голосів набраних кандидатом згідно з опитуваннями лежить в інтервалі 40±3 %. Тут довірчим інтервалом є ±3 %.
Довірчим інтервалом параметра розподілу випадкової величини з рівнем довіри p[примітка 1], для вибірки , називається інтервал з межами та , які є реалізаціями випадкових величин та , таких, що .
Граничні точки довірчого інтервалу та називаються довірчими межами.
Тлумачення довірчого інтервалу, засноване на інтуїції, буде таким: якщо рівень довіри p великий (скажімо, 0,95 або 0,99), то довірчий інтервал майже напевно містить істинне значення . Ще одне тлумачення поняття довірчого інтервалу: його можна розглядати як інтервал значень параметра, що є сумісними з даними дослідів і не суперечать їм.
Точніше, хоч також не зовсім формально, тлумачення довірчого інтервалу з рівнем довіри, наприклад, 95 %: якщо провести дуже велику кількість незалежних експериментів з аналогічною побудовою довірчого інтервалу, то в 95 % експериментів довірчий інтервал буде містити оцінюваний параметр (тобто буде виконуватися ), а в решті 5 % експериментів довірчий інтервал не міститиме .
Для повного уявлення про точність вимірювань та надійність оцінки випадкових відхилень результатів вимірювань, особливо при обмеженій кількості значень вимірюваної величини, необхідно задатися довірчими межами, довірчим інтервалом та довірчою ймовірністю. Нехай — n незалежних спостережень над випадковою величиною з законом розподілу F(z/a), що залежить від параметра a, значення якого невідомо. Довірчі межі випадкових похибок — це верхня та нижня межі інтервалу, в які похибки потрапляють із заданою ймовірністю Р. Величина Р називається довірчою ймовірністю. Для визначення довірчих меж похибок необхідно знати густину розподілу похибок та ймовірність потрапляння похибок у довірчі межі. Якщо не ввести обмеження, то задача матиме множину розв'язків.
- Визначення 1. Функція спостережень a1(x1,…,xn) (зауважимо, що це випадкова величина) називається нижньою довірчою границею для параметра a з рівнем довіри РД (звичайно близьким до 1), якщо при будь-якому значенні виконується P
.
- Визначення 2. Функція спостережень a2(x1,…,xn) (випадкова величина) називається верхньою довірчою границею для параметра a з рівнем довіри РД, якщо при будь-якому значенні
.
- Визначення 3. Інтервал з випадковими кінцями (випадковий інтервал)
I(x) = (a1(x), a2(x)), обумовлений двома функціями спостережень, називається довірчим інтервалом для параметра a з рівнем довіри РД, якщо при будь-якому значенні a , тобто імовірність (що залежить від a) накрити випадковим інтервалом I(x) справжнє значення a — більше або дорівнює РД.
Для побудови довірчого інтервалу (чи границі) необхідно знати закон розподілу статистики , по якій оцінюється невідомий параметр (такою статистикою може бути оцінка ). Один зі способів побудови полягає в наступному. Припустимо, що деяка випадкова величина , що залежить від статистики і невідомого параметра a така, що:
- закон розподілу відомий і не залежить від a;
- є неперервною та монотонною по.
Виберемо діапазон для інтервал так, щоб влучення в нього було практично імовірно: для чого досить як взяти квантилі розподілу рівня (1- РД)/2 і (1+ РД)/2 відповідно. Перейдемо в до іншого запису випадкової події. Розв'язуючи нерівності щодо параметра a, одержимо (думаючи, що монотонно зростає по a): . Це співвідношення вірне при будь-якім значенні параметра a, і тому, відповідно до визначення, випадковий інтервал є довірчим для a з рівнем довіри РД. Якщо спадає по a, інтервалом є . Для побудови однобічної границі для a виберемо значення так, щоб чи де — квантиль рівня . Після розв'язання нерівності одержимо однобічні довірчі границі для a.
Для звичайних технічних вимірювань, коли не вимагається високий ступінь надійності та точності, довірча ймовірність береться у межах 0,9—0,95. Виходячи з нормального закону розподілу, можна розраховувати ймовірність виникнення випадкових похибок з різними значеннями.
- Ймовірність випадкової величини
- Довірчий інтервал для коваріації випадкових величин
- Імовірний інтервал § Довірчий інтервал
- Довірча смуга
- ↑ величину, що доповнює довірчу ймовірність до одиниці, зазвичай позначають α
Сеньо П. С. (2007). Теорія ймовірностей та математична статистика (вид. 2-ге, перероб. і доп.). Київ: Знання. с. 446.
![]() |
Це незавершена стаття зі статистики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |
![]() | В іншому мовному розділі є повніша стаття Confidence interval(англ.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою перекладу з англійської.
|