Olasılık çıkaran fonksiyon

Matematiğin bir alt dalı olan olasılık kuramında kesikli bir rasgele değişken için olasılık çıkaran fonksiyon ya da bu rasgele değişkenin olasılık üreteç fonksiyonu bu rassal değişkenin olasılık kütle fonksiyonunun kuvvet serisi temsilidir.

Tanım

$X$ kesikli bir rasgele değişken olsun ve $0,1,2,\cdots$ değerlerini $p_{0},p_{1},p_{2},\cdots$ olasılıklarıyla alsın. O zaman, $X$ rasgele değişkeninin (ya da $\{p_{n}:n\geq 0\}$ olasılık dağılımının) olasılık üreteç fonksiyonu ya da bu rasgele değişken için olasılık çıkaran fonksiyon

$F_{X}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}x^{n}$

olarak tanımlanır. Daha genel olarak, $X$ kesikli rasgele değişkense ve $k\cdots$ tamsayı değerlerini $p_{k}=P(X=k)$ olasılıklarıyla alıyorsa, o zaman $X$ için olasılık çıkaran fonksiyon

$F_{X}(x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }p_{n}x^{n}$

olarak tanımlanır.

Örnekler

Bernoulli dağılımı

Bernoulli dağılımına sahip bir $X$ rasgele değişkenin olasılık kütle fonksiyonu $0\leq p\leq 1$ ve $q=1-p$ olmak üzere

$P(X=x)=p_{X}(x)={\begin{cases}p^{x}q^{1-x}&,x=0,1\\0&,{\text{diğer durumlarda}}\end{cases}}$

biçimindedir. Bu rastgele değişken için olasılık çıkaran fonksiyon

$F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }P(X=n)x^{n}=\sum _{n=0}^{1}p^{n}q^{1-n}x^{n}=q+px$

olur.

Binom dağılımı

Binom dağılımına sahip bir $X$ rasgele değişkeni, $n$-tane birbirinden bağımsız Bernoulli dağılımına sahip $X_{i}$ rasgele değişkenlerinin toplamı biçimindedir. Binom dağılımına sahip rasgele değişkenin olasılık kütle fonksiyonu, $0\leq p\leq 1$ ve $q=1-p$ olmak üzere,

$P(X=x)=p_{X}(x)={\begin{cases}{n \choose x}p^{x}q^{1-x}&,x=0,1,\cdots ,n\\0&,{\text{diğer durumlarda}}\end{cases}}$

biçimindedir. Bu rastgele değişken için olasılık çıkaran fonksiyon

$F(x)=\sum _{k=0}^{\infty }P(X=k)x^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p^{k}q^{1-k}x^{k}=(q+px)^{n}$

olur.

Poisson dağılımı

Parametresi, diğer deyişle, meydana gelen olaylarınn ortalama ortaya çıkma sayısı, $\lambda$ ile gösterilen bir Poisson dağılımına sahip bir $X$ rasgele değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu,

$P(X=x)=p_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x}}{x!}}p^{x}q^{1-x}&,x=0,1,\cdots \\0&,{\text{diğer durumlarda}}\end{cases}}$

biçimindedir. Bu rastgele değişken için olasılık çıkaran fonksiyon

$F(x)=\sum _{k=0}^{\infty }P(X=k)x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}x^{k}=e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(x\lambda )^{k}}{k!}}=e^{-\lambda }e^{-\lambda x}=e^{\lambda (x-1)}$

olur.

Geometrik dağılımı

Geometrik dağılıma sahip bir $X$ rasgele değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu, başarılı sonucun gerçekleşme olasılığı $1>p>0$ ile gösterilirse ve $q=1-p$ olursa,

$P(X=x)=p_{X}(x)={\begin{cases}pq^{x-1}&,x=1,2,\cdots \\0&,{\text{diğer durumlarda}}\end{cases}}$

biçimindedir. Bu rastgele değişken için olasılık çıkaran fonksiyon

$F(x)=\sum _{k=0}^{\infty }P(X=k)x^{k}=\sum _{k=1}^{\infty }pq^{k-1}x^{k}={\frac {p}{q}}\sum _{k=1}^{\infty }(xq)^{k}={\frac {p}{q}}\left({\frac {1}{1-sq}}-1\right)={\frac {p}{q}}\left({\frac {sq}{1-sq}}\right)={\frac {sp}{1-sq}}$

olur.