Polygontal

Polygontal är ett tal som representerar antalet punkter i en regelbunden polygon.

Definition och exempel

Talet 10, till exempel, är ett triangeltal och kan ordnas som en triangel.

Men talet 10 kan inte ordnas som en kvadrat. Talet 9, som är ett kvadrattal, kan däremot det.

Talet 36, som är ett kvadrattriangulärt tal, kan ordnas både som en kvadrat och en triangel.

Regeln för att förstora polygonen till nästa storlek är att förlänga två närliggande armar av en punkt och sedan lägga till de nödvändiga extra sidor mellan dessa punkter. Nedan visas varje extra lager i rött.

Triangeltal

 

Kvadrattal

Polygoner med högre antal sidor kan också byggas enligt denna regel.

 

Pentagontal

 

Hexagontal

 

Formler

Formeln för det n:te s-gontalet P(s,n) där s är antalet sidor i en polygon är

$P(s,n)={\frac {n^{2}(s-2)-n(s-4)}{2}}$

eller

$P(s,n)={\frac {n(s-2)(n-1)}{2}}+n$

Det n:te s-gontalet är också relaterat till triangeltalen T_n enligt följande:

$P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n=(s-3)T_{n-1}+T_{n}\,.$

Således:

$P(s,n+1)-P(s,n)=(s-2)n+1\,,$

$P(s+1,n)-P(s,n)=T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}\,.$

För ett givet s-gontal P(s,n) = x, kan man hitta n genom:

$n={\frac {{\sqrt {(8s-16)x+(s-4)^{2}}}+s-4}{2s-4}}.$

Tabell över värden

s	Namn	Formel	n										Summan av reciproka	OEIS
			1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
3	Triangeltal	½(n²+n)	1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	${2}$	A000217
4	Kvadrattal	n²	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	${\pi ^{2} \over 6}$	A000290
5	Pentagontal	½(3n² - n)	1	5	12	22	35	51	70	92	117	145	${3\ln \left(3\right)}-{\pi {\sqrt {3}} \over 3}$	A000326
6	Hexagontal	½(4n² - 2n)	1	6	15	28	45	66	91	120	153	190	${2\ln \left(2\right)}$	A000384
7	Heptagontal	½(5n² - 3n)	1	7	18	34	55	81	112	148	189	235	${\begin{matrix}{\frac {1}{15}}{\pi }{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}+{\frac {2}{3}}\ln(5)\\+{\frac {{1}+{\sqrt {5}}}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)\\+{\frac {{1}-{\sqrt {5}}}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)\end{matrix}}$	A000566
8	Oktogontal	½(6n² - 4n)	1	8	21	40	65	96	133	176	225	280	${{3\ln \left(3\right) \over 4}+{\pi {\sqrt {3}} \over 12}}$	A000567
9	Nonagontal	½(7n² - 5n)	1	9	24	46	75	111	154	204	261	325		A001106
10	Dekagontal	½(8n² - 6n)	1	10	27	52	85	126	175	232	297	370	${{\ln \left(2\right)}+{\pi \over 6}}$	A001107
11	Hendekagontal	½(9n² - 7n)	1	11	30	58	95	141	196	260	333	415		A051682
12	Dodekagontal	½(10n² - 8n)	1	12	33	64	105	156	217	288	369	460		A051624
13	Tridekagontal	½(11n² - 9n)	1	13	36	70	115	171	238	316	405	505		A051865
14	Tetradekagontal	½(12n² - 10n)	1	14	39	76	125	186	259	344	441	550	${{2\ln \left(2\right) \over 5}+{3\ln \left(3\right) \over 10}+{\pi {\sqrt {3}} \over 10}}$	A051866
15	Pentadekagontal	½(13n² - 11n)	1	15	42	82	135	201	280	372	477	595		A051867
16	Hexadekagontal	½(14n² - 12n)	1	16	45	88	145	216	301	400	513	640		A051868
17	Heptadekagontal	½(15n² - 13n)	1	17	48	94	155	231	322	428	549	685		A051869
18	Oktodekagontal	½(16n² - 14n)	1	18	51	100	165	246	343	456	585	730		A051870
19	Nonadekagontal	½(17n² - 15n)	1	19	54	106	175	261	364	484	621	775		A051871
20	Ikosagontal	½(18n² - 16n)	1	20	57	112	185	276	385	512	657	820		A051872
21	Ikosihenagontal	½(19n² - 17n)	1	21	60	118	195	291	406	540	693	865		A051873
22	Ikosidigontal	½(20n² - 18n)	1	22	63	124	205	306	427	568	729	910		A051874
23	Ikositrigontal	½(21n² - 19n)	1	23	66	130	215	321	448	596	765	955		A051875
24	Ikositetragontal	½(22n² - 20n)	1	24	69	136	225	336	469	624	801	1000		A051876
10000	Myriagontal	½(9998n² - 9996n)	1	10000	29997	59992	99985	149976	209965	279952	359937	449920		A167149

Kombinationer

Vissa tal, till exempel 36 som både är ett kvadrattal och ett triangeltal, kan ordnas med fler än en polygoner. I tabellen nedan visas olika kombinationer av polygoner.

s	t	Tal	OEIS
4	3	1, 36, 1225, 41616, …	A001110
5	3	1, 210, 40755, 7906276, …	A014979
5	4	1, 9801, 94109401, …	A036353
6	3	Alla hexagontal är även triangeltal	A000384
6	4	1, 1225, 1413721, 1631432881, …	A046177
6	5	1, 40755, 1533776805, …	A046180
7	3	1, 55, 121771, 5720653, …	A046194
7	4	1, 81, 5929, 2307361, …	A036354
7	5	1, 4347, 16701685, 64167869935, …	A048900
7	6	1, 121771, 12625478965, …	A048903
8	3	1, 21, 11781, 203841, …	A046183
8	4	1, 225, 43681, 8473921, …	A036428
8	5	1, 176, 1575425, 234631320, …	A046189
8	6	1, 11781, 113123361, …	A046192
8	7	1, 297045, 69010153345, …	A048906
9	3	1, 325, 82621, 20985481, …	A048909
9	4	1, 9, 1089, 8281, 978121, …	A036411
9	5	1, 651, 180868051, …	A048915
9	6	1, 325, 5330229625, …	A048918
9	7	1, 26884, 542041975, …	A048921
9	8	1, 631125, 286703855361, …	A048924

I vissa fall, till exempel s = 10 och t = 4, finns det inga tal i båda polygonerna förutom 1.

För fallet s = 4 och t = 3, se kvadrattriangulärt tal.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Polygonal number, 26 juni 2013.

• The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells (Penguin Books, 1997) ISBN 0-14-026149-4
• Polygonal numbers at PlanetMath
• Weisstein, Eric W., "Polygonal Numbers", MathWorld.
• F. Tapson (1999). The Oxford Mathematics Study Dictionary (2nd). Oxford University Press. sid. 88-89. ISBN 0-19-914-567-9