У математичкој анализи , грани математике , извод је мера како (колико брзо) функција мења своје вредности када јој се улазне вредности мењају. Извод криве у некој тачки представља коефицијент правца тангенте дате криве у тој тачки.
График функције, нацртан црном, и тангентна линија те функције, нацртана црвеном. Нагиб тангенте према x-оси је једнак изводу функције у означеној тачки. Извод функције f(x) у тачки a се дефинише као:
f
′
(
x
)
|
x
=
a
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
a
+
Δ
x
)
−
f
(
a
)
Δ
x
{\displaystyle f'(x)|_{x=a}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}}}
уколико лимес постоји. Иначе, извод можемо схватити и као линеарни оператор .
Поступак проналажења извода функције се назива диференцијацијом. Диференцијација процес обратан у односу на интеграљење .
уреди
Симболе
d
x
{\displaystyle dx}
d
y
{\displaystyle dy}
d
y
d
x
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}
Готфрид Вилхелм Лајбниц године 1675. Још се често користи када се функција y = f (x )
d
y
d
x
,
d
f
d
x
,
или
d
d
x
f
,
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}},\quad {\frac {df}{dx}},{\text{ или }}{\frac {d}{dx}}f,}
и некада се гледао као инфинитезимални количник. Изводи вишег реда се обележавају нотацијом
d
n
y
d
x
n
,
d
n
f
d
x
n
,
или
d
n
d
x
n
f
{\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\quad {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}},{\text{ или }}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f}
за n -ти извод функције
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
d
2
y
d
x
2
=
d
d
x
(
d
y
d
x
)
.
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).}
Са Лајбницовом нотацијом можемо записати извод функције
y
{\displaystyle y}
x
=
a
{\displaystyle x=a}
d
y
d
x
|
x
=
a
=
d
y
d
x
(
a
)
.
{\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}={\frac {dy}{dx}}(a).}
Лајбницова нотација дозвољава прецизирање променљиве по којој се врши извод, што је битно у парцијалним изводима . Такође олакшава памћење формуле за извод сложене функције
d
y
d
x
=
d
y
d
u
⋅
d
u
d
x
.
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}
уреди
Најчешћи начин записивања извода је користећи Лагранжову нотацију која користи ознаку прим ('), тако да је извод функције
f
{\displaystyle f}
f
′
{\displaystyle f'}
(
f
′
)
′
=
f
″
{\displaystyle (f')'=f''}
(
f
″
)
′
=
f
‴
.
{\displaystyle (f'')'=f'''.}
Да би се означио ред извода изнад 3, неки аутори користе римске бројеве у натпису, а неки арапске бројеве у заградама:
f
i
v
{\displaystyle f^{\mathrm {iv} }}
f
(
4
)
.
{\displaystyle f^{(4)}.}
n -ти извод се означава као
f
(
n
)
{\displaystyle f^{(n)}}
Њутнова нотација за диференцијацију (такође звана тачкасти запис за диференцијацију) ставља тачку преко зависне променљиве. Односно, ако је y функција од t , тада је дериват od y у односу на t
y
˙
{\displaystyle {\dot {y}}}
Виши деривати су представљени помоћу више тачака, као у
y
¨
,
y
.
.
.
{\displaystyle {\ddot {y}},{\overset {...}{y}}}
Њутнов запис се обично користи када независна променљива означава време . Ако је локација y t , тада и
y
˙
{\displaystyle {\dot {y}}}
брзину ,[ 1]
y
¨
{\displaystyle {\ddot {y}}}
[ 2]
уреди
У свакој тачки, извод је нагиб тангенте на криву. Црвена права је увек тангента плаве криве; њен нагиб је извод. Изводи су користан алат за испитивање графика функција. Све тачке унутар домена реалних функција које представљају локалне екстремуме имају за први извод нулу. Међутим, нису све критичне тачке локални екстремуми; на пример f (x ) = x 3 има критичну тачку у x = 0, али нема ни локални максимум, ни локални минимум у овој тачки.
Други извод функције се може користити за испитивање конвексности функције . Превојне тачке (тачке у којима функција прелази из конвексног у конкавни облик) имају за други извод нулу.
уреди
Ако је функција f диференцијабилна у тачки x 0 , онда ће коефицијент правца тангенте криве y = f (x ) у тачки T ( x 0 , f (x 0 ) ), бити једнака tg α = f ' (x 0 ), где је α угао који тангента заклапа са позитивним делом x -осе, а једначина исте тангенте ће гласити:
y - y 0 = f ' (x 0 ) · ( x − x 0 ),где је y 0 = f (x 0 ).
Једначина нормале у датој тачки Т ће бити:
y −y 0 = −1/f ' (x 0 ) · ( x −x 0 )
Изводи се могу теоретски рачунати по дефиницији у сваком примеру, али се у пракси често користе већ готови рачуни познатијих, једноставнијих функција. Изводи сложенијих функција се рачунају помоћу одређених правила.
уреди
(
x
n
)
′
=
lim
Δ
x
→
0
(
(
x
+
Δ
x
)
n
−
x
n
Δ
x
)
{\displaystyle {\bigl (}x^{n}{\bigr )}'=\lim _{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {(x+\Delta x)^{n}-x^{n}}{\Delta x}}{\Bigr )}}
a
n
−
b
n
=
(
a
−
b
)
(
a
n
−
1
+
a
n
−
2
b
+
a
n
−
3
b
2
+
…
+
a
2
b
n
−
3
+
a
b
n
−
2
+
b
n
−
1
)
{\displaystyle a^{n}-b^{n}={\bigl (}a-b{\bigr )}{\bigl (}a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\ldots +a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}{\bigr )}}
(
x
+
Δ
x
)
n
−
x
n
=
(
(
x
+
Δ
x
)
−
x
)
(
(
x
+
Δ
x
)
n
−
1
+
(
x
+
Δ
x
)
n
−
2
x
+
(
x
+
Δ
x
)
n
−
3
x
2
+
…
+
(
x
+
Δ
x
)
2
x
n
−
3
+
(
x
+
Δ
x
)
x
n
−
2
+
x
n
−
1
)
{\displaystyle (x+\Delta x)^{n}-x^{n}={\bigl (}(x+\Delta x)-x{\bigr )}{\bigl (}(x+\Delta x)^{n-1}+(x+\Delta x)^{n-2}x+(x+\Delta x)^{n-3}x^{2}+\ldots +(x+\Delta x)^{2}x^{n-3}+(x+\Delta x)x^{n-2}+x^{n-1}{\bigr )}}
(
x
+
Δ
x
)
n
−
x
n
≈
n
Δ
x
x
n
−
1
{\displaystyle (x+\Delta x)^{n}-x^{n}\thickapprox n\Delta xx^{n-1}}
(
x
n
)
′
=
lim
Δ
x
→
0
(
n
Δ
x
x
n
−
1
Δ
x
)
=
n
x
n
−
1
{\displaystyle {\bigl (}x^{n}{\bigr )}'=\lim _{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {n\Delta xx^{n-1}}{\Delta x}}{\Bigr )}=nx^{n-1}}
(
e
x
)
,
=
l
i
m
Δ
x
→
0
(
e
(
x
+
Δ
x
)
−
e
x
Δ
x
)
{\displaystyle {\Bigl (}e^{x}{\Bigr )}^{,}=\ lim_{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {e^{(x+\Delta x)}-e^{x}}{\Delta x}}{\Bigr )}}
e
=
lim
n
→
∞
(
1
+
1
n
)
n
=
lim
h
→
0
(
1
+
h
)
1
h
{\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\bigl (}1+{\frac {1}{n}}{\bigr )}^{n}=\lim _{h\to 0}{\bigl (}1+h{\bigr )}^{\frac {1}{h}}}
e
(
x
+
Δ
x
)
−
e
x
Δ
x
=
e
x
e
Δ
x
−
1
Δ
x
{\displaystyle {\frac {e^{(x+\Delta x)}-e^{x}}{\Delta x}}=e^{x}{\frac {e^{\Delta x}-1}{\Delta x}}}
e
Δ
x
−
1
=
h
→
Δ
x
→
0
0
{\displaystyle e^{\Delta x}-1=h{\xrightarrow[{\Delta x\rightarrow 0}]{}}0}
Δ
x
=
l
n
(
1
+
h
)
{\displaystyle \Delta x=ln(1+h)}
e
Δ
x
−
1
Δ
x
=
h
l
n
(
1
+
h
)
=
1
l
n
(
1
+
h
)
1
h
{\displaystyle {\frac {e^{\Delta x}-1}{\Delta x}}={\frac {h}{ln(1+h)}}={\frac {1}{ln(1+h)^{\frac {1}{h}}}}}
Коначно:
(
e
x
)
,
=
e
x
{\displaystyle {\Bigl (}e^{x}{\Bigr )}^{,}=e^{x}}
(
l
n
(
x
)
)
,
=
lim
Δ
x
→
0
(
l
n
(
x
+
Δ
x
)
−
l
n
(
x
)
Δ
x
)
{\displaystyle {\Bigl (}ln(x){\Bigr )}^{,}=\lim _{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {ln(x+\Delta x)-ln(x)}{\Delta x}}{\Bigr )}}
l
n
(
x
+
Δ
x
)
−
l
n
(
x
)
=
l
n
(
x
+
Δ
x
x
)
=
l
n
(
1
+
Δ
x
x
)
{\displaystyle ln(x+\Delta x)-ln(x)=ln{\bigl (}{\frac {x+\Delta x}{x}}{\bigr )}=ln{\Bigl (}1+{\frac {\Delta x}{x}}{\Bigr )}}
l
n
(
x
+
Δ
x
)
−
l
n
(
x
)
Δ
x
=
1
x
l
n
(
1
+
Δ
x
x
)
Δ
x
x
{\displaystyle {\frac {ln(x+\Delta x)-ln(x)}{\Delta x}}={\frac {1}{x}}{\frac {ln{\Bigl (}1+{\frac {\Delta x}{x}}{\Bigr )}}{\frac {\Delta x}{x}}}}
lim
Δ
x
→
0
(
l
n
(
1
+
Δ
x
x
)
Δ
x
x
)
=
1
{\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {ln{\Bigl (}1+{\frac {\Delta x}{x}}{\Bigr )}}{\frac {\Delta x}{x}}}{\Bigr )}=1}
(
l
n
(
x
)
)
,
=
1
x
{\displaystyle {\Bigl (}ln(x){\Bigr )}^{,}={\frac {1}{x}}}
(
a
x
)
,
=
l
i
m
Δ
x
→
0
(
a
(
x
+
Δ
x
)
−
a
x
Δ
x
)
{\displaystyle {\Bigl (}a^{x}{\Bigr )}^{,}=\ lim_{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {a^{(x+\Delta x)}-a^{x}}{\Delta x}}{\Bigr )}}
a
(
x
+
Δ
x
)
−
a
x
Δ
x
=
a
x
a
Δ
x
−
1
Δ
x
{\displaystyle {\frac {a^{(x+\Delta x)}-a^{x}}{\Delta x}}=a^{x}{\frac {a^{\Delta x}-1}{\Delta x}}}
a
Δ
x
−
1
=
h
{\displaystyle a^{\Delta x}-1=h}
Δ
x
=
l
o
g
a
(
1
+
h
)
=
l
n
(
1
+
h
)
l
n
a
{\displaystyle \Delta x=log_{a}(1+h)={\frac {ln(1+h)}{lna}}}
(
a
x
)
,
=
a
x
l
n
(
a
)
{\displaystyle {\Bigl (}a^{x}{\Bigr )}^{,}=a^{x}ln(a)}
(
l
o
g
a
(
x
)
)
,
=
lim
Δ
x
→
0
(
l
o
g
a
(
x
+
Δ
x
)
−
l
o
g
a
(
x
)
Δ
x
)
{\displaystyle {\Bigl (}log_{a}(x){\Bigr )}^{,}=\lim _{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {log_{a}(x+\Delta x)-log_{a}(x)}{\Delta x}}{\Bigr )}}
l
o
g
a
(
x
+
Δ
x
)
−
l
o
g
a
(
x
)
=
l
o
g
a
(
x
+
Δ
x
x
)
=
l
o
g
a
(
1
+
Δ
x
x
)
{\displaystyle log_{a}(x+\Delta x)-log_{a}(x)=log_{a}{\bigl (}{\frac {x+\Delta x}{x}}{\bigr )}=log_{a}{\Bigl (}1+{\frac {\Delta x}{x}}{\Bigr )}}
l
o
g
a
(
1
+
Δ
x
x
)
=
l
n
(
1
+
Δ
x
x
)
l
n
a
{\displaystyle log_{a}{\Bigl (}1+{\frac {\Delta x}{x}}{\Bigr )}={\frac {ln{\Bigl (}1+{\frac {\Delta x}{x}}{\Bigr )}}{lna}}}
(
l
o
g
a
(
x
)
)
,
=
1
x
l
n
a
{\displaystyle {\Bigl (}log_{a}(x){\Bigr )}^{,}={\frac {1}{xlna}}}
(
s
i
n
(
x
)
)
,
=
lim
Δ
x
→
0
(
s
i
n
(
x
+
Δ
x
)
−
sin
x
Δ
x
)
{\displaystyle {\Bigl (}sin(x){\Bigr )}^{,}=\lim _{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {sin(x+\Delta x)-\sin {x}}{\Delta x}}{\Bigr )}}
s
i
n
(
α
)
−
s
i
n
(
β
)
=
2
s
i
n
(
α
−
β
2
)
c
o
s
(
α
+
β
2
)
{\displaystyle sin(\alpha )-sin(\beta )=2sin({\frac {\alpha -\beta }{2}})cos({\frac {\alpha +\beta }{2}})}
s
i
n
(
x
+
Δ
x
)
−
sin
x
Δ
x
=
2
s
i
n
Δ
x
2
Δ
x
c
o
s
(
x
+
Δ
x
2
)
{\displaystyle {\frac {sin(x+\Delta x)-\sin {x}}{\Delta x}}=2{\frac {sin{\frac {\Delta x}{2}}}{\Delta x}}cos(x+{\frac {\Delta x}{2}})}
sin
x
x
→
x
→
0
1
⇒
{\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}{\xrightarrow[{x\rightarrow 0}]{}}1\Rightarrow }
(
s
i
n
(
x
)
)
,
=
cos
x
{\displaystyle {\Bigl (}sin(x){\Bigr )}^{,}=\cos x}
(
c
o
s
(
x
)
)
,
=
lim
Δ
x
→
0
(
c
o
s
(
x
+
Δ
x
)
−
cos
x
Δ
x
)
{\displaystyle {\Bigl (}cos(x){\Bigr )}^{,}=\lim _{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {cos(x+\Delta x)-\cos {x}}{\Delta x}}{\Bigr )}}
c
o
s
(
α
)
−
c
o
s
(
β
)
=
−
2
s
i
n
(
α
−
β
2
s
i
n
(
α
+
β
2
)
{\displaystyle cos(\alpha )-cos(\beta )=-2sin({\frac {\alpha -\beta }{2}}sin({\frac {\alpha +\beta }{2}})}
c
o
s
(
x
+
Δ
x
)
−
cos
x
Δ
x
=
−
2
s
i
n
Δ
x
2
Δ
x
s
i
n
(
x
+
Δ
x
2
)
{\displaystyle {\frac {cos(x+\Delta x)-\cos {x}}{\Delta x}}=-2{\frac {sin{\frac {\Delta x}{2}}}{\Delta x}}sin(x+{\frac {\Delta x}{2}})}
(
c
o
s
(
x
)
)
,
=
−
sin
x
{\displaystyle {\Bigl (}cos(x){\Bigr )}^{,}=-\sin x}
(
t
a
n
(
x
)
)
,
=
(
sin
x
cos
x
)
,
{\displaystyle {\Bigl (}tan(x){\Bigr )}^{,}={\Bigl (}{\frac {\sin {x}}{\cos {x}}}{\Bigr )}^{,}}
=
(
sin
x
)
,
cos
x
−
sin
x
(
cos
x
)
,
cos
x
2
{\displaystyle {\frac {{\Bigl (}\sin {x}{\Bigr )}^{,}\cos {x}-\sin {x}{\Bigl (}\cos {x}{\Bigr )}^{,}}{\cos {x}^{2}}}}
sin
x
2
+
cos
x
2
cos
x
2
=
1
cos
x
2
{\displaystyle {\frac {\sin {x}^{2}+\cos {x}^{2}}{\cos {x}^{2}}}={\frac {1}{\cos {x}^{2}}}}
(
c
o
t
(
x
)
)
,
=
(
cos
x
sin
x
)
,
{\displaystyle {\Bigl (}cot(x){\Bigr )}^{,}={\Bigl (}{\frac {\cos {x}}{\sin {x}}}{\Bigr )}^{,}}
=
(
cos
x
)
,
sin
x
−
cos
x
(
sin
x
)
,
sin
x
2
{\displaystyle {\frac {{\Bigl (}\cos {x}{\Bigr )}^{,}\sin {x}-\cos {x}{\Bigl (}\sin {x}{\Bigr )}^{,}}{\sin {x}^{2}}}}
−
sin
x
2
−
cos
x
2
sin
x
2
=
−
1
sin
x
2
{\displaystyle {\frac {-\sin {x}^{2}-\cos {x}^{2}}{\sin {x}^{2}}}={\frac {-1}{\sin {x}^{2}}}}
уреди
Функција
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
Извод
f
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)}
Функција
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
Извод
f
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)}
sin
x
{\displaystyle \sin x}
cos
x
{\displaystyle \cos x}
sh
x
{\displaystyle {\text{sh}}\,x}
ch
x
{\displaystyle {\text{ch}}\,x}
cos
x
{\displaystyle \cos x}
−
sin
x
{\displaystyle -\sin x}
ch
x
{\displaystyle {\text{ch}}\,x}
sh
x
{\displaystyle {\text{sh}}\,x}
tg
x
{\displaystyle {\text{tg}}\,x}
1
cos
2
x
{\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}x}}}
th
x
{\displaystyle {\text{th}}\,x}
1
ch
2
x
{\displaystyle {\frac {1}{{\text{ch}}^{2}x}}}
ctg
x
{\displaystyle {\text{ctg}}\,x}
−
1
sin
2
x
{\displaystyle -{\frac {1}{\sin ^{2}x}}}
cth
x
{\displaystyle {\text{cth}}\,x}
−
1
sh
2
x
{\displaystyle -{\frac {1}{{\text{sh}}^{2}x}}}
arcsin
x
{\displaystyle \arcsin x}
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
Arsh
x
{\displaystyle {\text{Arsh}}\,x}
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
arccos
x
{\displaystyle \arccos x}
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
Arch
x
{\displaystyle {\text{Arch}}\,x}
1
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
arctg
x
{\displaystyle {\text{arctg}}\,x}
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}}
Arth
x
{\displaystyle {\text{Arth}}\,x}
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}}}}
arcctg
x
{\displaystyle {\text{arcctg}}\,x}
−
1
1
+
x
2
{\displaystyle -{\frac {1}{1+x^{2}}}}
Arcth
x
{\displaystyle {\text{Arcth}}\,x}
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}}}}
e
x
{\displaystyle e^{x}}
e
x
{\displaystyle e^{x}}
a
x
{\displaystyle a^{x}}
a
x
ln
a
{\displaystyle a^{x}\ln a}
ln
(
x
)
{\displaystyle \ln(x)}
1
x
{\displaystyle {\frac {1}{x}}}
1
x
{\displaystyle {\frac {1}{x}}}
−
1
x
2
{\displaystyle -{\frac {1}{x^{2}}}}
log
a
x
{\displaystyle \log _{a}x}
1
x
ln
a
{\displaystyle {\frac {1}{x\ln a}}}
|
x
|
{\displaystyle |x|}
x
|
x
|
{\displaystyle {\frac {x}{|x|}}}
x
{\displaystyle {\sqrt {x}}}
1
2
x
{\displaystyle {\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}
x
n
{\displaystyle x^{n}}
n
x
n
−
1
{\displaystyle nx^{n-1}}
уреди
Дата је сложена функција
y
=
f
(
u
)
{\displaystyle y=f(u)}
u
=
g
(
x
)
{\displaystyle u=g(x)}
Извод је једнак производу извода појединачних делова
(
f
∘
g
)
′
(
x
)
=
(
f
(
g
(
x
)
)
′
=
f
′
(
u
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle (f\circ g)'(x)=(f(g(x))'=f'(u)g'(x)}
Пример:
[
s
i
n
(
x
2
)
]
′
=
s
i
n
′
(
x
2
)
∗
(
x
2
)
′
=
2
x
c
o
s
(
x
2
)
{\displaystyle [sin(x^{2})]'=sin'(x^{2})*(x^{2})'=2xcos(x^{2})}
Збир извода је извод збира
u
′
(
x
)
±
v
′
(
x
)
=
[
u
(
x
)
±
v
(
x
)
]
′
{\displaystyle u'(x)\pm v'(x)=[u(x)\pm v(x)]'}
[
u
(
x
)
v
(
x
)
]
′
=
u
′
(
x
)
v
(
x
)
+
u
(
x
)
v
′
(
x
)
{\displaystyle [u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)}
Специјалан случај је извод функције помножене константом
[
c
u
(
x
)
]
′
=
c
′
u
(
x
)
+
c
u
′
(
x
)
=
0
∗
u
(
x
)
+
c
u
′
(
x
)
=
c
u
′
(
x
)
{\displaystyle [cu(x)]'=c'u(x)+cu'(x)=0*u(x)+cu'(x)=cu'(x)}
[
u
(
x
)
v
(
x
)
]
′
=
u
′
(
x
)
v
(
x
)
−
u
(
x
)
v
′
(
x
)
[
v
(
x
)
]
2
{\displaystyle {\bigl [}{\frac {u(x)}{v(x)}}{\bigr ]}'={\frac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}}}
уреди
Други извод се дефинише као извод првог извода:
f
″
(
x
)
|
x
=
a
=
(
f
′
(
x
)
|
x
=
a
)
′
{\displaystyle f''(x)|_{x=a}=(f'(x)|_{x=a})'\,}
f
‴
(
x
)
|
x
=
a
=
(
f
″
(
x
)
|
x
=
a
)
′
{\displaystyle f'''(x)|_{x=a}=(f''(x)|_{x=a})'\,}
f
(
n
)
(
x
)
|
x
=
a
=
(
f
(
n
−
1
)
(
x
)
|
x
=
a
)
′
{\displaystyle f^{(n)}(x)|_{x=a}=(f^{(n-1)}(x)|_{x=a})'\,}
^ Weisstein, Eric W. "Overdot." From MathWorld --A Wolfram Web Resource. „Archived copy” . Архивирано из оригинала 2015-09-05. г. Приступљено 2016-02-05 .
^ Weisstein, Eric W. "Double Dot." From MathWorld --A Wolfram Web Resource. „Archived copy” . Архивирано из оригинала 2016-03-03. г. Приступљено 2016-02-05 .
Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.
Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (2. 2. 2005), Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable (8th изд.), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-47244-5 Apostol, Tom M. (јун 1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra 1 (2nd изд.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1 Apostol, Tom M. (јун 1969), Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications 1 (2nd изд.), Wiley, ISBN 978-0-471-00007-5 Courant, Richard; John, Fritz (22. 12. 1998), Introduction to Calculus and Analysis, Vol. 1 , Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65058-4 Eves, Howard (2. 1. 1990), An Introduction to the History of Mathematics (6th изд.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-029558-4 Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H. (28. 2. 2006), Calculus: Early Transcendental Functions (4th изд.), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5 Spivak, Michael (септембар 1994), Calculus (3rd изд.), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8 Stewart, James (24. 12. 2002), Calculus ISBN 978-0-534-39339-7 Thompson, Silvanus P. (8. 9. 1998), Calculus Made Easy ISBN 978-0-312-18548-0 Crowell, Benjamin (2017), Fundamentals of Calculus (Govt. of TN), TamilNadu Textbook Corporation (2006), Mathematics- vol.2 (PDF) , Архивирано из оригинала (PDF) 2016-01-15. г., Приступљено 2014-11-29 Garrett, Paul (2004), Notes on First-Year Calculus University of Minnesota Hussain, Faraz (2006), Understanding Calculus Keisler, H. Jerome (2000), Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals Mauch, Sean (2004), Unabridged Version of Sean's Applied Math Book оригинала 2006-04-15. г. Sloughter, Dan (2000), Difference Equations to Differential Equations Strang, Gilbert (1991), Calculus оригинала 25. 02. 2010. г., Приступљено 16. 10. 2020 Stroyan , Keith D. (1997), A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus Wikibooks, Calculus
![{\displaystyle e^{\Delta x}-1=h{\xrightarrow[{\Delta x\rightarrow 0}]{}}0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acf9b01d9d3e6ba05d99147059c052a104458bcb)
![{\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}{\xrightarrow[{x\rightarrow 0}]{}}1\Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90e56042b67a90a80f99fe4aefbe6b1d5befa952)
![{\displaystyle [sin(x^{2})]'=sin'(x^{2})*(x^{2})'=2xcos(x^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63be9dbff6ee27a591c3e8168c9f26269e217ffd)
![{\displaystyle u'(x)\pm v'(x)=[u(x)\pm v(x)]'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbd0fa917a667217806399abc1230da3b7bf8ea5)
![{\displaystyle [u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faff524404c03e591f2d52a13cbaa03b9e5a7a4d)
![{\displaystyle [cu(x)]'=c'u(x)+cu'(x)=0*u(x)+cu'(x)=cu'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df143d69151b93a5af9def08c7350cfb1a60f10b)
![{\displaystyle {\bigl [}{\frac {u(x)}{v(x)}}{\bigr ]}'={\frac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95632b9a3b35d86bcd94ef3f80402d304a2c4f5c)
, 1 (2nd изд.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1
