Derivált
![]() |
Ez a szócikk vagy szakasz lektorálásra, tartalmi javításokra szorul. |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7a/Graph_of_sliding_derivative_line.gif/300px-Graph_of_sliding_derivative_line.gif)
A matematikában a derivált (vagy differenciálhányados) a matematikai analízis egyik legalapvetőbb fogalma. A derivált lényegében annak a mértéke, hogy egy egyváltozós valós függvény görbéjéhez rajzolt érintője milyen meredek. Ez a geometriai jellegű fogalom szoros kapcsolatban van a függvény növekedésének elemzésével, a függvényvizsgálattal. A deriváltból következtethetünk a függvény
- menetére (azaz, hogy monoton növekvő vagy monoton fogyó-e),
- szélsőértékeire (lehet-e az adott pontban maximuma vagy minimuma),
- grafikonjának görbületére (konvex vagy konkáv-e a függvénygörbe)
- a növekedés mértékére (gyorsan változik-e a függvény vagy lassan)
- a függvény közelítő értékére, lineárissal történő közelíthetőségére.
A derivált fogalma a 16. és a 17. században fejlődött ki, geometriai és mechanikai problémák megoldása során. Azóta a differenciálszámítás a matematika nagyon jól feldolgozott témaköre,[1] alkalmazása számos tudományban nélkülözhetetlen. Szigorú matematikai fogalomként csak a függvények differenciálhatóságának fogalmával együtt tárgyalható, de szemléletes tartalma enélkül is megérthető.
Pontos definíció és jelölések
[szerkesztés]Legyen f egyváltozós valós függvény, x0 az értelmezési tartományának egy belső pontja. Ekkor az f függvény x0-beli deriváltján vagy differenciálhányadosán[2] a
határértéket értjük, ha ez létezik és véges (azaz valós szám).[3]
Mivel a határérték egyértelmű, ha egyáltalán létezik, ugyanígy a derivált is egyértelmű. A fenti határérték, azaz a derivált jele:
- , vagy , vagy
Az első a Lagrange-féle jelölés, ő használta először a „derivált” kifejezést. A második a Leibniz-féle, ő differenciálhányadosnak nevezte (később Hamilton differenciálkoefficiensként említi). Newton a deriváltat ponttal jelölte: és fluxiónak nevezte.[4]
Rögzített x esetén az
hányadost differenciahányadosnak vagy különbségi hányadosnak szokás nevezni. Ezután a derivált definiálható úgy is, mint a különbségi hányados melletti határértéke.
A jobb oldali derivált akkor létezik, ha a határérték létezik és véges.
A bal oldali derivált akkor létezik, ha a határérték létezik és véges.
Magyarázat
[szerkesztés]Az x pontbeli differenciálhányados a fenti definícióval ekvivalens módon felírható a következőképpen is:
- illetve
h-t, illetve Δx-et a független változó növekményének, míg f(x+h) – f(x)-et, illetve f(x+Δx) – f(x) -et a függvény vagy a függő változó növekményének nevezzük. Ez az írásmód a következő szemléletes értelmezésekkel kapcsolatos.
Mechanikai értelmezés
[szerkesztés]A vizsgált függvényt egy mozgó test s(t) út-idő összefüggésének tekintve, t időpontra és Δt időtartamra a következőképp írható fel a különbségi hányados:
A számlálóban a megtett út, a nevezőben az út megtételéhez szükséges idő áll, így a hányados a test [t, t + Δt] időintervallumban számított átlagsebességét adja. Ha „egyre kisebb” Δt időtartamokra számoljuk ki ezt a hányadost, például 0,01, 0,001, … másodpercre (a lényeg, hogy 0-hoz tartunk), akkor a hányados értéke egyre kevésbé változik, és egyre inkább csak a t időpontra jellemző sebességadatot, a pillanatnyi sebességet adja:
Az pontozott jelölést Newton óta a t változótól függő függvények deriváltjának jelölésére alkalmazzák.
Newton a differenciálszámítást a mechanika alaptörvényeinek felállítására alkalmazta, így ebben a tudományban nagyon sok fogalom feltételezi a deriválás eszközét.
Geometriai értelmezés
[szerkesztés]Legyen egyváltozós valós differenciálható függvény, és egy-egy szám az értelmezési tartományból. A képüket jelölje és . Ekkor a koordinátasíkon az és pontokat összekötő egyenes a függvénygrafikon egy szelője. A szelő meredeksége éppen az differenciahányados. Ha tart -hoz, a szelők az érintőhöz, a differenciahányados pedig az -beli differenciálhányadoshoz tart. Tehát a függvény -beli differenciálhányadosa a függvénygrafikon -beli érintőjének meredekségét adja meg.
Kiszámítása
[szerkesztés]Egyszerűbb, például algebrai függvények esetén a deriváltat a függvény értelmezési tartományának minden pontjában „egyszerre” (azaz függvényként), nehézség nélkül megadhatjuk. Például legyen a deriválandó függvény:
A különbségi hányados tetszőleges x pontban és tetszőleges Δx-re:
Vagyis a derivált:
A határérték-számítás miatt Δx ≠ 0, ezért lehet vele egyszerűsíteni:
A kifejezés Δx-re másodfokú. A polinomfüggvények folytonosságát felhasználva a határérték egyszerűen a Δx=0 behelyettesítéssel számolható.
Fontos, hogy magát a különbségi hányadost nem kell kiértékelnünk Δx=0 esetben, hiszen határérték-számítást végzünk, viszont a folytonosság miatt a már egyszerűsített kifejezésbe beírhatjuk Δx helyére a 0-t:
Elemi függvények deriváltjai
[szerkesztés]Függvény neve | jele | deriváltja |
---|---|---|
konstans | ||
konstans szorzó | ||
konstans alap, függvény kitevő | ||
hatvány | ||
exponenciális (e az Euler-féle szám) | ||
természetes logaritmus | ||
logaritmus (a pozitív és nem 1) | ||
Trigonometrikus függvények | ||
szinusz | ||
koszinusz | ||
tangens | ||
kotangens | ||
Hiperbolikus függvények | ||
hiperbolikus szinusz | ||
hiperbolikus koszinusz | ||
hiperbolikus tangens | ||
hiperbolikus kotangens | ||
Inverz trigonometrikus függvények | ||
arkusz szinusz | ||
arkusz koszinusz | ||
arkusz tangens | ||
arkusz kotangens | ||
Inverz hiperbolikus függvények | ||
area hiperbolikus szinusz | ||
area hiperbolikus koszinusz | ||
area hiperbolikus tangens | ||
area hiperbolikus kotangens |
Műveletek deriváltjai
[szerkesztés]Művelet | Deriváltja |
---|---|
Jegyzetek
[szerkesztés]- ↑ Az alapfogalmak kiváló feldolgozása megtalálható például a következő alapműben: Spivak, Michael, Calculus (3rd ed.), Publish or Perish, 1994, ISBN 978-0-914098-89-8
- ↑ A differenciálhányados inkább egy pontbeli értéket jelent, a derivált pedig az ezekből álló függvényt. A megkülönböztetés azonban annyira jelentéktelen, hogy a szakirodalomban is összemosódik.
- ↑ Lásd Bátkai András, Differenciálszámítás, ELTE jegyzet Archiválva 2009. október 7-i dátummal a Wayback Machine-ben.
- ↑ Differential calculus, derivative entry in Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics, Jeff Miller & al
További információk
[szerkesztés]- Magyarított Flash animáció a derivált geometriai jelentéséről a szinuszfüggvény példáján Archiválva 2012. szeptember 26-i dátummal a Wayback Machine-ben. Szerző: David M. Harrison