Funkcijska enačba

Funkcíjska enáčba (ali fúnkcijska ~ in funkcionálna ~) je v matematiki enačba, ki določa funkcijo v implicitni obliki. Pri funkcijskih enačbah se ne išče neznana količina, na primer $x\,$, ampak se išče neznana funkcija, za katero velja nek iskani pogoj. Velikokrat enačba povezuje vrednost funkcije (ali funkcij) v kakšni točki z njeno vrednostjo v drugih točkah. Značilnosti funkcij se lahko na primer določijo s preučevanjem vrst funkcijskih enačb za katere veljajo. Izraz funkcijska enačba se po navadi nanaša na enačbe, ki jih ni moč preprosto zreducirati na algebrske enačbe. Takšnih enačb ni mogoče zreducirati, ker argumenti neznanih funkcij v enačbah niso neodvisne spremenljivke, kot tudi ne nekatere od njih izpeljane funkcije.

Zgledi

• Funkcijski enačbi:

$f(s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)f(1-s)\!\,$

zadošča Riemannova funkcija zeta $\zeta \,$. Tu je $\Gamma \,$ funkcija gama.

• Funkcija gama je enolična rešitev naslednjega sistema treh enačb:

$f(x)={f(x+1) \over x}\!\,$

$f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2y-1}}}f(2y)\!\,$

$f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}\,\!\,\,\,$       (Eulerjeva refleksijska formula)

• Funkcijska enačba:

$f\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)\!\,,$

kjer so $a,b,c,d\,$ cela števila za katera velja $ad-bc=1\,$, oziroma ${\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=1\,$, določa $f\,$ kot modularno formo reda $k\,$.

• Razni drugi zgledi, ki nujno ne obsegajo standardnih ali poimenovanih funkcij:

$f(x+y)=f(x)+f(y)\!\,$ (Cauchyjeva funkcijska enačba)

Potenciranju,

$f(x+y)=f(x)f(y)\!\,,$ zadoščajo vse eksponentne funkcije

$f(xy)=f(x)+f(y)\!\,,$ zadoščajo vse logaritemske funkcije

$f(xy)=f(x)f(y)\!\,,$ zadoščajo vse potenčne funkcije

$f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)]\!\,$ (kvadratna enačba ali paralelogramska enakost)

$f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2\!\,$ (Jensen)

$g(x+y)+g(x-y)=2[g(x)g(y)]\!\,$ (d'Alembert)

$f(h(x))=h(x+1)\!\,$ (Abelova enačba)

$f(h(x))=cf(x)\!\,$ (Schröderjeva enačba)

$f(h(x))=(f(x))^{c}\!\,$ (Böttcherjeva enačba)

$f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)\!\,$ (adijska formula za sinus)

$g(x+y)=g(x)g(y)-f(y)f(x)\!\,$ (adicijska formula za kosinus)

$f(xy)=\sum g_{l}(x)h_{l}(y)\!\,$ (Levi-Civita)

• Preprosta oblika funkcijske enačbe je rekurenčna enačba. Ta formalno obsega nenavedene funkcije celih števil in tudi operatorje premika. Zgled takšne rekurenčne enačbe je:

$a(n)=3a(n-1)+4a(n-2)\!\,$

• Zakon komutativnosti in zakon asociativnosti sta funkcijski enačbi. Če se zakon asociativnosti izrazi v znani obliki, potem poljubni simbol med dvema spremenljivkama predstavlja binarno operacijo:

$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)~\!\,.$

Če se namesto $a\circ b\,$ napiše $(a,b)\,$, bo zakon asociativnosti izgledal bolj kot funkcijska enačba:

$f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c))\!\,.$

Značilnost, ki jo imajo vsi zgornji zgledi, je, da so v vsakem primeru dve ali več znanih funkcij (včasih množenje s konstanto, včasih seštevanje dveh sprememnljivk, včasih funkcija enakosti) znotraj argumenta neznanih funkcij za katere se išče rešitev.

Pri iskanju vseh rešitev se lahko zgodi, da je treba vzeti v obzir pogoje iz matematične analize. V primeru Cauchyjeve enačbe so na primer rešitve, ki so zvezne funkcije, 'upravičene', druge, ki so verjetno brez praktične vrednosti, pa se lahko skontruira (s pomočjo Hamelove baze) za realna števila kot vektorski prostor nad racionalnimi števili. Drug znan takšen zgled je Bohr-Mollerupov izrek, ki karakterizira funkcijo gama za $x>0\,$.

Reševanje funkcijskih enačb

Reševanje funkcijskih enačb je lahko zelo težko. Obstaja pa nekaj splošnih metod za njihovo reševanje. V dinamičnem programiranju se na primer za reševanje Bellmanove funkcijske enačbe rabi več različnih zaporednih aproksimacijskih metod, vključno z metodami na podlagi navadne iteracije.

Glavna metoda reševanja elementarnih funkcijskih enačb je substitucija. Velikokrat je uporabna pri dokazovanju surjektivnosti ali injektivnosti ali pri dokazovanju lihosti ali sodosti, če je mogoče. Uporabna je tudi pri ugibanju možnih rešitev. Indukcija je uporabna tehnika v primerih kadar je funkcija določena le za racionalne ali cele vrednosti.

Aktualna je obravnava involucijskih funkcij. Na primer funkcija:

$f(x)=1-x\!\,.$

Sestava $f\,$ same s seboj da Babbageovo funkcijsko enačbo (1820):

$f(f(x))=1-(1-x)=x\!\,.$

Tudi druge funkcije zadoščajo tej funkcijski enačbi:

$f(f(x))=x~\!\,,$

vključno na drugi strani z $f(x)=-x\,$:

$f(x)={\frac {a}{x}}\!\,$

in:

$f(x)={\frac {b-x}{1+cx}}~\!\,,$

ki vsebuje predhodne tri kot posebne primere.

Zgled 1. Najti je treba vse funkcije $f\,$, za katere velja:

$f(x+y)^{2}=f(x)^{2}+f(y)^{2}\!\,,$

za vse $x,y\in \mathbb {R} \,$, kjer $f\,$ zavzema realne vrednosti.

Naj je $x=y=0\,$:

$f(0)^{2}=f(0)^{2}+f(0)^{2}\!\,.$

Tako je $f(0)^{2}=0\,$ in $f(0)=0\,$.

Naj je sedaj $y=-x\,$:

$f(x-x)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}\!\,$

$f(0)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}\!\,$

$0=f(x)^{2}+f(-x)^{2}~\!\,.$

Kvadrat realnih števil je nenegativen, vsota nenegativnih števil je enaka nič, če in samo če sta obe števili enaki 0. Tako je $f(x)^{2}=0\,$ za vse $x\,$, in $f(x)=0\,$ je edina rešitev.

Glej tudi

• funkcijska enačba (L-funkcija)
• Bellmanova enačba
• dinamično programiranje
• implicitna funkcija

Viri

• Aczél, János (1966). Lectures on Functional Equations and Their Applications. Mathematics in Science and Engineering. Zv. 19. New York: Academic Press. MR 0208210.
• Aczél, János; Dhombres, Jean (1989). Functional Equations in Several Variables. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Zv. 31. Cambridge University Press. COBISS 1029721. doi:10.1017/CBO9781139086578. ISBN 0-521-35276-2.
• Alexander, Daniel S.; Iavernaro, Felice; Rosa, Alessandro (2012). Early Days in Complex Dynamics: A History of Complex Dynamics in One Variable During 1906-1942. History of mathematics. Zv. 38. Ameriško matematično društvo. ISBN 978-0-8218-4464-9.
• Bellman, Richard Ernest (1957). Dynamic Programming. Princeton University Press. COBISS 12176645.
• Cheng, Sui Sun; Li, Wendrong (2008). Analytic solutions of Functional equations. Singapur: World Scientific Publishing Co. ISBN 978-981-279-334-8.
• Czerwik, Stephan (2002). Functional Equations and Inequalities in Several Variables. Singapur: World Scientific Publishing Co. ISBN 981-02-4837-7.
• Hyers, Donald H.; Isac, George; Rassias, Themistocles M. (1998). Stability of Functional Equations in Several Variables. Boston: Birkhäuser Verlag. ISBN 0-8176-4024-X.
• Jung, Soon-Mo (2001). Hyers-Ulam-Rassias Stability of Functional Equations in Mathematical Analysis. Palm Harbor (FL): Hadronic Press, Inc. ISBN 1-57485-051-2.
• Kannappan, Palaniappan (2009). Functional Equations and Inequalities with Applications. Springer. doi:10.1007/978-0-387-89492-8. ISBN 978-0-387-89491-1.
• Kuczma, Marek (2009). An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities: Cauchy's Equation and Jensen's Inequality (2. izd.). Basel: Birkhäuser Verlag AG. ISBN 978-3-7643-8748-8.
• Rassias, Themistocles M. (2000). Functional Equations and Inequalities. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0- 7923-6484-8.
• Ritt, Joseph Fels (1916). »On Certain Real Solutions of Babbage's Functional Equation«. Annals of Mathematics. Zv. 17, št. 3. str. 113–122. doi:10.2307/2007270.
• Sniedovich, Moshe (2010). Dynamic Programming: Foundations and Principles. Taylor & Francis. ISBN 978-1-4200-1463-1.
• Stetkær, Henrik (2013). Functional Equations on Groups (1. izd.). World Scientific Publishing. ISBN 9789814513128.

Zunanje povezave

• Funkcijske enačbe: eksaktne rešitve na EqWorld: The World of Mathematical Equations. (angleško)
• Funkcijske enačbe: indeks na EqWorld: The World of Mathematical Equations. (angleško)
• IMO Compendium text (arhivirano) o funkcijskih enačbah pri reševanju problemov. (angleško)