Teória čísel

Teória čísel je jednou z disciplín diskrétnej matematiky zaoberajúca sa vlastnosťami čísel vo všeobecnosti a zvlášť celými číslami, ako aj širším rozsahom problémov súvisiacich so štúdiom čísel. Je možné ju ďalej rozdeliť do poddisciplín vzhľadom na používané metódy a typy riešených úloh.

Poddisciplíny

Elementárna teória čísel

Od antiky do 18. storočia sa teória čísel zaobišla bez iných matematických disciplín. Jej jediné pomôcky boli vlastnosti celých čísel, obzvlášť rozdelenie čísel na prvočísla, deliteľnosť a počítanie s kongruenciami. Dôležité výsledky, ktoré sa dajú dosiahnuť s pomocou elementárnych metód, sú malá Fermatova veta a jeho zovšeobecnenie Eulerova veta, Čínska zvyšková veta, Wilsonova veta a Euklidov algoritmus.

Analytická teória čísel

Leonhard Euler si ako prvý všimol, že sa dajú metódy analýzy a teórie funkcií použiť na riešenie úloh teórie čísel. Dôležité problémy, ktoré boli vyriešené analytickými metódami, sú napríklad Gaußova prvočíselná veta a Dirichletova veta o prvočíslach v aritmetických rozvojoch. Okrem toho slúžili analytické metódy dôkazu o transcendentosti čísel pi a e.

Algoritmická teória čísel

Algoritmická teória čísel sa zaoberá s tým, ako sa dajú problémy z teórie čísel riešiť algoritmicky. Dôležité otázky sú, či je veľké číslo prvočíslo, sfaktorizovanie veľkých čísel a spočítanie diskrétneho logaritmu.

Použitie teórie čísel

Teória čísel sa používa v kryptografii. Používajú sa tu elementárne metódy (rozklad na prvočinitele, napríklad pri RSA alebo ElGamal), ale aj pokročilé metódy algebrickej teórie čísel (ECC).

Taktiež sa teória čísel nájde v teórii kódovania.

Historický vývoj

Teória čísel v antike a stredoveku

Prvé písomné dôkazy z teórie čísel sú zhruba z roku 2000 pred naším letopočtom. Egypťania a Babylončania už poznali čísla menšie než milión, štvorce a zopár pytagorských trojíc. Systematický vývoj začal však až v prvom tisícročí pred naším letopočtom v antickom Grécku. Vynikajúci predstaviteľ je Euklides (zhruba 300 pred Kr.), ktorý preniesol Pytagorovu metódu matematického dôkazu do teórie čísel. Jeho najslávnejšie dielo, Euklidove elementy, sa do 18. storočia používalo ako štandardná učebnica pre geometriu a teóriu čísel. Zväzky 7, 8 a 9 sa zaoberajú otázkami teórie čísel, ako napríklad definíciou prvočísla, Euklidovho algoritmu (na výpočet najväčšieho spoločného deliteľa) a dôkazom, že existuje nekonečne veľa prvočísel (Euklidova veta). V roku 250 pred Kr. sa zaoberal matematik Diofantos najskôr rovnakomennými rovnicami. Jeho hlavné dielo je Arithmetica. Gréci kládli zaujímavé otázky, z ktorých niektoré nie sú vyriešené dodnes (napr. problém prvočíselných dvojíc, dokonalých čísel alebo trojuholníkových čísel), alebo ktorých riešenie trvalo tisíce rokov. So zánikom gréckych štátov skončila aj doba, v ktorej teória čísel v Európe kvitla. Z tohto času je menovateľný iba Leonardo di Pisa (Fibonacci, zhruba 1200 po Kr.), ktorý sa zaoberal okrem číselných radov aj riešením rovníc. Na konci stredoveku objavil Marin Mersenne tzv. Mersennove prvočísla.

Príklady číselných množín

• Prirodzené čísla – 1, 2, 3, ... (najstaršie čísla, využívali sa na počítanie množstva), označenie N (V niektorých definíciách je aj nula prirodzené číslo)
• Celé čísla – 1, 2, 3, ..., 0, −1, −2, −3, ... (pribudla nula a záporné čísla), označenie Z
• Racionálne čísla – čísla, ktoré sa dajú zapísať formou zlomku (napr. 0,5 = 1/2, ale aj 1 = 1/1 a √9 = 3/1), označenie Q
• Iracionálne čísla - čísla, ktoré sa nedajú napísať formou zlomku, označenie I delia sa na:
  • Algebrické čísla napr. odmocnina z dvoch
  • Transcendentné čísla napr. Ludolfovo číslo, Eulerovo číslo
• Reálne čísla – všetky racionálne a iracionálne čísla, označenie R
• Komplexné čísla – skladajú sa z 2 častí – reálnej a imaginárnej, takéto číslo je napríklad 0 + i (toto komplexné číslo je riešením rovnice $x^{2}=-1$), označenie C

Hoci sú všetky hore uvedené číselné množiny nekonečné, nie sú rovnako mohutné. Mohutnosť N, Z, Q a algebraických čísel je rovnaká, ostatné tri sú mohutnejšie a zase rovnako mohutné.

Významní matematici, ktorí sa zaoberajú teóriou čísel

• Euklides
• Diofantos z Alexandrie
• Marin Mersenne
• Pierre de Fermat
• Leonhard Euler
• Carl Friedrich Gauß
• Joseph Louis Lagrange
• Adrien-Marie Legendre
• Carl Gustav Jacob Jacobi
• Peter Gustav Lejeune Dirichlet
• Bernhard Riemann
• Emil Artin
• Goró Šimura
• Jutaka Tanijama
• Andrew Wiles
• Helmut Hasse
• Paul Erdős
• Sophie Germainová
• Srínivása Ajjangár Rámánudžan
• André Weil