Эффективная процентная ставка

Эффективная процентная ставка (ЭПС, EIR, Effective Interest Rate) — процентная ставка, получаемая в результате капитализации процентов по финансовому инструменту за весь период инвестирования, в течение которого выплаты не производятся. Эффективная процентная ставка может определяться за любой временной интервал, но обычно подразумевается годовая эффективная процентная ставка.

ЭПС — это ставка сложных процентов, учитывающая временную ценность денег, позволяющая сопоставлять различные денежные потоки, инструменты, активы, обязательства, проекты между собой.

В различных ситуациях могут применяться разные наименования. Для облигаций применяется понятие доходность к погашению (YTM), для инвестиционных проектов — внутренняя норма доходности (ВНД, IRR, Internal Rate of Return).

Метод ЭПС является основным методом оценки финансовых активов и обязательств в МСФО (см. IFRS 9) при их учёте по амортизированной стоимости. На момент первоначального признания инструмент отражается по справедливой стоимости и исходя из нее определяется ЭПС. В дальнейшем стоимость инструмента определяется как дисконтированная по этой первоначальной ЭПС стоимость денежного потока от инструмента, ожидаемого после текущего момента

Формализованное описание

Общее определение

В соответствии с определением, ЭПС по финансовому инструменту со стоимостью S (на данный момент времени) в общем случае определяется как решение относительно r уравнения

$S=\sum _{i=1}^{n}{\frac {CF_{t_{i}}}{(1+r)^{t_{i}}}}$

где $CF_{t_{i}}$ — платеж по инструменту в момент времени $t_{i}$ (время отсчитывается от текущего момента в единицах измерения r).

Если ЭПС определена за некоторый базовый период, то для определения ЭПС за период T, содержащий m базовых периодов (m не обязательно целое число) в вышеприведенном уравнении в степенях дисконтирующих множителей время необходимо также перевести в новые единицы, соответственно вместо $t_{i}$ нужно использовать $t_{i}/m$. Это эквивалентно тому, что вместо $1+r$ использовать $(1+R)^{1/m}$, следовательно имеем начисление сложных процентов, то есть

$R=(1+r)^{m}-1$

ЭПС процентного инструмента с полным гашением первоначальной суммы в течение (или в конце) срока

Пусть по инструменту выполнены одновременно следующие условия:

1) платежи по финансовому инструменту представляют собой исключительно платежи в счет погашения основного долга и проценты на его оставшуюся часть;

2) платежи осуществляются через фиксированный промежуток времени (далее — базовый период);

3) номинальная процентная ставка по договору является неизменной на протяжении срока договора (обозначим ее q — для ставки за базовый период) и она используется для расчета процентной составляющей платежей: проценты за данный базовый период равны произведению q на остаток основного долга на начало базового периода;

4) в течение срока договора первоначальная сумма долга полностью погашается (конкретный график погашения долга не имеет значения, долг целиком может погашаться и в самом конце срока и в течение срока).

Можно показать, что при выполнении этих условий эффективная процентная ставка за базовый период равна номинальной процентной ставке за этот же период: $r=q$. При этом ЭПС за иной период не равен номинальной ставке за этот же период, а должен пересчитываться по формуле сложных процентов. Например, ЭПС за m базовых периодов будет равна: $R_{m}=(1+q)^{m}$, что не совпадает с номинальной ставкой за этот период: $Q=qm$

Доказательство

ЭПС за базовый период определяется как решение относительно r решения уравнения:

$S_{0}=\sum _{t=1}^{n}{\frac {CF_{t}}{(1+r)^{t}}}$

При этом платежи состоят из платежей в счет погашения основного долга и процентов на его оставшуюся часть:

$CF_{t}=-\Delta {S_{t}}+I_{t}=S_{t-1}-S_{t}+qS_{t-1}=(1+q)S_{t-1}-S_{t}$

Тогда уравнение для нахождения ЭПС будет иметь вид:

$S_{0}=\sum _{t=1}^{n}{\frac {(1+q)S_{t-1}-S_{t}}{(1+r)^{t}}}=\sum _{t=1}^{n}{\frac {(1+q)S_{t-1}}{(1+r)^{t}}}-\sum _{t=1}^{n}{\frac {S_{t}}{(1+r)^{t}}}={\frac {1+q}{1+r}}\sum _{t=1}^{n}{\frac {S_{t-1}}{(1+r)^{t-1}}}-\sum _{t=1}^{n}{\frac {S_{t}}{(1+r)^{t}}}$

Обозначим для удобства $k={\frac {1+q}{1+r}}$ и с учетом того, что $\sum _{t=1}^{n}{\frac {S_{t-1}}{(1+r)^{t-1}}}=\sum _{t=1}^{n}{\frac {S_{t}}{(1+r)^{t}}}-{\frac {S_{n}}{(1+r)^{n}}}+S_{0}$ и того, что $S_{n}=0$ (в конце срока инструмент должен быть погашен), уравнение для ЭПС примет вид:

$S_{0}=k(\sum _{t=1}^{n}{\frac {S_{t}}{(1+r)^{t}}}+S_{0})-\sum _{t=1}^{n}{\frac {S_{t}}{(1+r)^{t}}}$

Отсюда получим равенство

$(1-k)S_{0}=-(1-k)\sum _{t=1}^{n}{\frac {S_{t}}{(1+r)^{t}}}$

Если $k<>1$ то это выражение приводит к невозможному равенству : $S_{0}=-\sum _{t=1}^{n}{\frac {S_{t}}{(1+r)^{t}}}$ поскольку левая часть и правая часть равенства ненулевые и имеют противоположные знаки. Поэтому единственным следствием этого является то, что $k=1$. Это означает, что $q=r$, то есть номинальная и эффективная ставка за базовый период равны друг другу, что и требовалось доказать.

Таким образом, в случае таких инструментов, ЭПС можно определить не путем решения уравнений, а по формуле непосредственно исходя из номинальной ставки по договору и частоты платежей. Если номинальная годовая ставка равна Q, а платежи осуществляются через равные периоды продолжительностью t дней, то количество базовых периодов в год равно m=365/t и годовая эффективная процентная ставка будет равна

$R=(1+Q/m)^{m}-1$

Примерами таких процентных инструментов являются все стандартные кредиты и депозиты, если только нет по ним дополнительных доходов или расходов, учитываемых при расчете ЭПС. При этом график платежей не имеет значения (аннуитетный, дифференцированный, в конце срока и т. д.), важно только одинаковость периодов осуществления платежей (или капитализации процентов), отсутствие иных денежных потоков кроме погашения основного долга и процентов на его остаток.

Однако, необходимо отметить, что если проценты начисляются, например, ежемесячно, по точному количеству дней в месяце, то формально месяцы имеют не одинаковую продолжительность, поэтому вышеуказанные условия выполняются не совсем точно и, соответственно, вышеприведенная формула не является точной. Однако, ошибка, связанная с этим обычно не является существенной и на практике во многих случаях этим можно пренебречь.

Простейший частный случай: процентный инструмент с гашением долга в конце срока

В наиболее простом случае, когда имеется инструмент (например, кредит или облигация) со стоимостью S (сумма кредита, номинал), которая погашается ровно в той же сумме в конце срока, на которую начисляются проценты по ставке q за фиксированный базовый период (купонный период) в течение всего срока инструмента, можно непосредственно показать, что ЭПС за базовый период равен номинальной ставке за этот период. В самом деле уравнение для годовой ЭПС за этот базовый период имеет вид

$S=\sum _{i=1}^{n}{\frac {q*S}{(1+r)^{i}}}+{\frac {S}{(1+r)^{n}}}=qS{\frac {1-(1+r)^{-n}}{r}}+S(1+r)^{-n}$

Отсюда

$S(1-(1+r)^{-n})=qS{\frac {1-(1+r)^{-n}}{r}}$

Сократив левую и правую часть на $S(1-(1+r)^{-n})$ получим, что q=r, то есть ЭПС за базовый период и номинальная ставка за этот же период равны друг другу.

Отметим, что для такой же облигации, приобретенной не по номиналу, а по некоторой иной рыночной цене, вышеуказанное утверждение о равенстве ЭПС и номинальной ставки за базовый период, уже неверно, поскольку в течение периода погашается сумма, отличная от первоначальной.

См. также

• Полная стоимость кредита
• Амортизированная стоимость
• IFRS 9