Эллипсоид инерции

Эллипсо́ид ине́рции (для точки O) — геометрическая фигура в виде поверхности второго порядка, которая характеризует тензор инерции твёрдого тела относительно точки O.

Тензор инерции и эллипсоид инерции

Основная статья: Тензор инерции

Момент инерции тела дается общей формулой:

$I=\int \mathbf {r} _{\bot }^{2}\,dm$

Тензор инерции для твердого тела представляется в виде симметричной матрицы

${\begin{pmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{pmatrix}}$

в которой элементы являются моментами инерции относительно различных осей:

$I_{xx}=\int (y^{2}+z^{2})\,dm$
$I_{yy}=\int (x^{2}+z^{2})\,dm$
$I_{zz}=\int (x^{2}+y^{2})\,dm$

$I_{xy}=I_{yx}=-\int xy\,dm$
$I_{xz}=I_{zx}=-\int xz\,dm$
$I_{yz}=I_{zy}=-\int yz\,dm$

Матрица тензора инерции может быть представлена в диагональном виде, и тогда диагональные элементы $I_{x}$, $I_{y}$, $I_{z}$ будут главными моментами инерции тела. Уравнение эллипсоида инерции тогда запишется как:

$I_{x}x^{2}+I_{y}y^{2}+I_{z}z^{2}=1$

При этом координатные оси эллипсоида должны совпадать с главными осями тела.

Знание эллипсоида инерции позволяет найти момент инерции тела относительно любой оси, если только она проходит через центр эллипсоида. Для этого вдоль выбранной оси проводится радиус-вектор до пересечения с эллипсоидом инерции. Момент инерции тела относительно этой оси даётся формулой:

$I={\frac {1}{r^{2}}}$, где $r$ — длина радиус-вектора.

Если момент внешних сил относительно неподвижной точки равен нулю, то говорят, что реализуется случай Эйлера движения твердого тела. Для такого случая Пуансо удалось получить наглядную геометрическую интерпретацию: эллипсоид инерции для неподвижной точки катится без скольжения по плоскости, неподвижной в пространстве; эта плоскость ортогональна вектору кинетического момента тела; угловая скорость тела пропорциональна длине радиус-вектора точки касания, а по направлению с ним совпадает.

Примеры эллипсоидов инерции

Элиипсоид инерции стержня

Эллипсоид инерции прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед

Пусть параллелепипед имеет размеры $a,b,c$. Главные моменты инерции:

$I_{x}={\frac {m}{12}}(b^{2}+c^{2}),\quad I_{y}={\frac {m}{12}}(a^{2}+c^{2}),\quad I_{z}={\frac {m}{12}}(a^{2}+b^{2})$

Примерный вид эллипсоида инерции представлен на иллюстрации.

Для расчета эллипсоида инерции тонкого стержня один из размеров считается много больше остальных, и эллипсоид вырождается в цилиндрическую поверхность.

Литература

1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. — 4-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2005. — Т. 1. Механика. — С. 311. — 560 с. — ISBN 5-9221-0225-7.
2. Лабораторный практикум по общей физике / А.Д.Гладун. — М.: МФТИ, 2004. — Т. 1. Механика. — С. 133. — 316 с. — ISBN 5-7417-0202-3.
3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. — 5-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. — Т. 1. Механика. — С. 131. — 224 с. — ISBN 978-5-9221-0819-5.