Факториал
Факториа́л — функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел. Название происходит от лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается , произносится эн факториа́л. Факториал натурального числа определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до включительно:
- .
Например,
- .
Для принимается в качестве соглашения, что:
- .
n | n! |
---|---|
0 | 1 |
1 | 1 |
2 | 2 |
3 | 6 |
4 | 24 |
5 | 120 |
6 | 720 |
7 | 5040 |
8 | 40320 |
9 | 362880 |
10 | 3628800 |
11 | 39916800 |
12 | 479001600 |
13 | 6227020800 |
14 | 87178291200 |
15 | 1307674368000 |
16 | 20922789888000 |
17 | 355687428096000 |
18 | 6402373705728000 |
19 | 121645100408832000 |
20 | 2432902008176640000 |
21 | 51 090 942 171 709 440 000 |
22 | 1 124 000 727 777 607 700 000 |
Факториал активно используется в различных разделах математики: комбинаторике, математическом анализе, теории чисел, функциональном анализе и др.
Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем любая показательная функция или любая степенная функция, а также быстрее, чем любая сумма произведений этих функций. Однако степенно-показательная функция растёт быстрее факториала, так же как и большинство двойных степенных, например .
Свойства
[править | править код]Рекуррентная формула
[править | править код]Факториал может быть задан следующей рекуррентной формулой:
Комбинаторная интерпретация
[править | править код]В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов.
Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:
ABCD BACD CABD DABC ABDC BADC CADB DACB ACBD BCAD CBAD DBAC ACDB BCDA CBDA DBCA ADBC BDAC CDAB DCAB ADCB BDCA CDBA DCBA
Комбинаторная интерпретация факториала подтверждает целесообразность соглашения — количество перестановок пустого множества равно единице. Кроме того, формула для числа размещений из элементов по
при обращается в формулу для числа перестановок из элементов (порядка ), которое равно .
Связь с гамма-функцией
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Generalized_factorial_function.svg/325px-Generalized_factorial_function.svg.png)
Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением
- .
Это же выражение используют для обобщения понятия факториала на множество вещественных чисел. Используя аналитическое продолжение гамма-функции, область определения факториала также расширяют на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при .
Непосредственным обобщением факториала на множества вещественных и комплексных чисел служит пи-функция , которая при может быть определена как
- (интегральное определение).
Пи-функция натурального числа или нуля совпадает с его факториалом: . Как и факториал, пи-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению .
Формула Стирлинга
[править | править код]Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:
Во многих случаях для приближённого вычисления факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:
При этом можно утверждать, что
Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Например, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что:
- 100! ≈ 9,33×10157
- 1000! ≈ 4,02×102567
- 10 000! ≈ 2,85×1035 659
Разложение на простые множители
[править | править код]Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени определяемой следующей формулой:
Таким образом,
где произведение берётся по всем простым числам. Можно заметить, что для всякого простого p большего n соответствующий множитель в произведении равен 1; следовательно, произведение можно брать лишь по простым p, не превосходящим n.
Связь с производной от степенной функции
[править | править код]Для целого неотрицательного числа n:
Например:
Другие свойства
[править | править код]- Для натурального числа :
- Для любого :
- не является квадратом целого числа;
- Для любого :
- оканчивается на 0;
- Для любого :
- оканчивается на 00.
- Если простое число:
- делится на (теорема Вильсона)
История
[править | править код]Факториальные выражения появились ещё в ранних исследованиях по комбинаторике, хотя компактное обозначение предложил французский математик Кристиан Крамп только в 1808 году[2]. Важным этапом стало открытие формулы Стирлинга, которую Джеймс Стирлинг опубликовал в своём трактате «Дифференциальный метод» (лат. Methodus differentialis, 1730 год). Немного ранее почти такую же формулу опубликовал друг Стирлинга Абрахам де Муавр, но в менее завершённом виде (вместо коэффициента была неопределённая константа)[3].
Стирлинг подробно исследовал свойства факториала, вплоть до выяснения вопроса о том, нельзя ли распространить это понятие на произвольные вещественные числа. Он описал несколько возможных путей к реализации этой идеи и высказал мнение, что:
Стирлинг не знал, что годом ранее решение проблемы уже нашёл Леонард Эйлер. В письме к Кристиану Гольдбаху Эйлер описал требуемое обобщение[4]:
Развивая эту идею, Эйлер в следующем, 1730 году, ввёл понятие гамма-функции в виде классического интеграла. Эти результаты он опубликовал в журнале Петербургской академии наук в 1729—1730 годах.
Обобщения
[править | править код]Двойной факториал
[править | править код]Двойной факториал числа n обозначается n‼ и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность, что и n.
- Для чётного n:
- Для нечётного n:
Связь между двойными факториалами двух соседних целых неотрицательных чисел и обычным факториалом одного из них.
- Формула для чётного n:
|
- Пример, иллюстрирующий использованное выше выведение формулы:
- Формула для нечётного n:
|
Пример, иллюстрирующий использованное выше выведение формулы:
Осуществив замену для чётного n и для нечётного n соответственно, где — целое неотрицательное число, получим:
- для чётного числа:
- для нечётного числа:
По договорённости: . Также это равенство выполняется естественным образом:
Двойной факториал, так же, как и обычный факториал, определён только для целых неотрицательных чисел.
Последовательность значений n!! начинается так[5]:
- 1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10 395, 46 080, 135 135, 645 120, 2 027 025, 10 321 920, 34 459 425, 185 794 560, 654 729 075, 3 715 891 200, 13 749 310 575, 81 749 606 400, 316 234 143 225, 1 961 990 553 600, 7 905 853 580 625, 51 011 754 393 600, …
Кратный факториал
[править | править код]m-кратный факториал числа n обозначается и определяется следующим образом. Пусть число n представимо в виде где Тогда[6]
Обычный и двойной факториалы являются частными случаями m-кратного факториала для m = 1 и m = 2 соответственно.
Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением[7]:
Также кратный факториал возможно записывать в сокращенном виде .
Неполный факториал
[править | править код]Убывающий факториал
[править | править код]Убывающим факториалом называется выражение
- .
Например:
- n = 7; k = 4,
- (n − k) + 1 = 4,
- nk = 7 • 6 • 5 • 4 = 840.
Убывающий факториал даёт число размещений из n по k.
Возрастающий факториал
[править | править код]Возрастающим факториалом называется выражение
Праймориал или примориал
[править | править код]Праймориал или примориал (англ. primorial) числа n обозначается pn# и определяется как произведение n первых простых чисел. Например,
- .
Иногда праймориалом называют число , определяемое как произведение всех простых чисел, не превышающих заданное n.
Последовательность праймориалов (включая ) начинается так[8]:
- 1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30 030, 510 510, 9 699 690, 223 092 870, 6 469 693 230, 200 560 490 130, 7 420 738 134 810, 304 250 263 527 210, 13 082 761 331 670 030, 614 889 782 588 491 400, 32 589 158 477 190 046 000, 1 922 760 350 154 212 800 000, …
Фибонориал или фибоначчиал
[править | править код]Произведение нескольких первых чисел Фибоначчи. Записывается n!F.
Например, : 6!F = .
Суперфакториалы
[править | править код]Нейл Слоан и Симон Плуффэ[англ.] в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению, суперфакториал четырёх равен
(поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).
В общем
Последовательность суперфакториалов чисел начинается так[9]:
- 1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, 125 411 328 000, 5 056 584 744 960 000, 1 834 933 472 251 084 800 000, 6 658 606 584 104 737 000 000 000 000, 265 790 267 296 391 960 000 000 000 000 000 000, 127 313 963 299 399 430 000 000 000 000 000 000 000 000 000, …
Идея была обобщена в 2000 году Генри Боттомли[англ.], что привело к гиперфакториалам (англ. Hyperfactorial), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел начинается так[10]:
- 1, 1, 2, 24, 6912, 238 878 720, 5 944 066 965 504 000, 745 453 331 864 786 800 000 000 000, 3 769 447 945 987 085 600 000 000 000 000 000 000 000 000, 6 916 686 207 999 801 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000, …
Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, или m-уровневый факториал числа n, как произведение (m − 1)-уровневых факториалов чисел от 1 до n, то есть
где для и
Субфакториал
[править | править код]Субфакториал !n определяется как количество беспорядков порядка n, то есть перестановок n-элементного множества без неподвижных точек.
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ Коэффициенты этого разложения дают последовательности A001163 (числители) и A001164 (знаменатели)
- ↑ Крамп, Кристиан . Дата обращения: 19 сентября 2016. Архивировано 19 сентября 2016 года.
- ↑ Pearson, Karl (1924), "Historical note on the origin of the normal curve of errors", Biometrika, 16: 402–404 [p. 403], doi:10.2307/2331714: «Стирлинг лишь показал, что арифметическая константа в формуле Муавра равна . Я считаю, что это не делает его автором теоремы»
- ↑ Дональд Кнут. Искусство программирования, том I. Основные алгоритмы. — М.: Мир, 1976. — С. 79—81. — 736 с.
- ↑ Последовательность A006882 в OEIS
- ↑ «Энциклопедия для детей» Аванта+. Математика.
- ↑ wolframalpha.com Архивная копия от 1 ноября 2013 на Wayback Machine.
- ↑ Последовательность A002110 в OEIS
- ↑ Последовательность A000178 в OEIS
- ↑ Последовательность A055462 в OEIS