Теорема котангенсов

Общий вид треугольника

Теорема котангенсов — тригонометрическая теорема, связывающая радиус вписанной окружности треугольника с длиной его сторон. Теорему котангенсов удобно использовать при решении треугольника по трём сторонам.

Формулировка

Пусть

$a,b,c$ — длины трёх сторон треугольника,

$A,B,C$ — углы, лежащие напротив, соответственно, сторон $a,b,c$,

$r$ — радиус вписанной окружности треугольника и

$p={\frac {a+b+c}{2}}$ — полупериметр треугольника.

Тогда справедливы следующие формулы:

$\mathrm {ctg} {\frac {A}{2}}={\frac {p-a}{r}}$,

$\mathrm {ctg} {\frac {B}{2}}={\frac {p-b}{r}}$,

$\mathrm {ctg} {\frac {C}{2}}={\frac {p-c}{r}}$,

или эквивалентно:

${\frac {p-a}{\mathrm {ctg} (A/2)}}={\frac {p-b}{\mathrm {ctg} (B/2)}}={\frac {p-c}{\mathrm {ctg} (C/2)}}=r$.

Словами теорему можно сформулировать так: котангенс половинного угла равен разности отношения полупериметра и длины противолежащей стороны указанного угла к радиусу вписанной окружности.

Обобщение

В сферической тригонометрии существует похожая формула для половины угла, а также двойственная к ней формула половины стороны.

Следствия

Из теоремы котангенсов может быть получено выражение для радиуса вписанной окружности $r={\sqrt {{\frac {1}{p}}(p-a)(p-b)(p-c)}}$. Далее, так как площадь треугольника $S=pr$, из теоремы котангенсов следует формула Герона.

См. также

• Теорема косинусов
• Теорема о проекциях
• Теорема синусов
• Теорема тангенсов
• Тригонометрические тождества
• Тригонометрические функции
• Формулы Мольвейде

См. также

• Тригонометрические тождества
• Тригонометрические функции