Символ Кронекера

Не следует путать с символом Кронекера — Якоби.

Символ Кро́некера (или дельта Кронекера или кронекериа́н) — индикатор равенства элементов, формально: функция двух целых переменных, которая равна 1, если они равны, и 0 в противном случае:

$\delta _{ij}={\begin{cases}1,&i=j,\\0,&i\neq j.\end{cases}}$

Например, $\delta _{12}=0$, но $\delta _{33}=1$.

Использование

В линейной алгебре символ Кронекера может использоваться для записи условия ортонормированности базиса $(e_{i},e_{j})=\delta _{ij}$, а также — в общем случае — для определения дуальных базисов $(e_{i},f^{j})=\delta _{i}^{j}$, где круглыми скобками обозначено скалярное произведение, а также для краткой записи единичной матрицы размера n: $(\delta _{ij})_{i,j=1}^{n}$ (элементы единичной матрицы записываются как $\delta _{ij}$).

В тензорном исчислении символ Кронекера обычно трактуется как единичный тензор. В частности, могут использоваться различные написания $\delta _{ij},\delta _{j}^{i},\delta ^{ij}$ для подчеркивания его принадлежности к определённому типу тензоров — соответственно дважды ковариантным, один раз ковариантным и один контравариантным и дважды контравариантным. При этом обычная практика обозначать той же буквой тензор после поднятия или опускания индекса не распространяется на дельту Кронекера. Иначе говоря, в общем случае $\delta _{ij},\delta _{j}^{i},\delta ^{ij}$ — не представляют один и тот же тензор (за исключением представления в ортонормированных базисах, что, собственно говоря, является признаком, выделяющим ортонормированные базисы из всех).

Также может использоваться в соответствии со своим определением для записи разнообразных результатов или условий и в других контекстах.

История

Символ был введён Кронекером в 1866 году.

См. также

• Символ Леви-Чивиты
• Дельта-функция