Распределение Трейси — Видома

Вид функций плотности вероятности распределений Трейси — Видома F₁, F₂ и F₄

Распределение Трейси — Видома — статистическое распределение, введённое Крэйгом Трейси и Гарольдом Видомом для описания нормированного наибольшего собственного значения случайной эрмитовой матрицы.

В прикладном отношении, распределение Трейси — Видома — это функция перехода между двумя фазами системы: со слабосвязанными и с сильносвязанными компонентами. Оно также возникает как распределение длины наибольшей увеличивающейся подпоследовательности случайных перестановок, во флуктуациях потока асимметричного процесса с простыми исключениями (ASEP) с шаговым начальным условием и в упрощённых математических моделях поведения в задаче о наибольшей общей подпоследовательности случайных вводов.

Распределение F₁ особенно интересно с точки зрения многомерной статистики .

Определение

Распределение Трейси — Видома определяется как предел

$F_{\beta }(s)=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }{\rm {Prob}}\left((\lambda _{\rm {max}}-{\sqrt {2n}})({\sqrt {2}})n^{1/6}\leq s\right){\mbox{,}}$

где $\lambda _{\rm {max}}$ — наибольшее собственное число случайной матрицы $n\times n$ стандартного (для компонентов матрицы $\sigma =1/{\sqrt {2}}$) гауссова ансамбля: при β=1 — ортогонального, при β=2 — унитарного, при β=4 — симплектического. Сдвиг ${\sqrt {2n}}$ используется, чтобы центрировать распределение в точке 0. Множитель $({\sqrt {2}})n^{1/6}$ используется, поскольку стандартное отклонение распределения масштабируется как $n^{-1/6}$.

Эквивалентные представления

Кумулятивная функция распределения Трейси — Видома для унитарных ансамблей ($\beta =2$) может быть представлена как фредгольмов определитель

$F_{2}(s)=\det(I-A_{s})$

оператора $A_{s}$ на интегрируемой с квадратом функции на луче $(s,\infty )$ ядром в понятиях функций Эйри $\mathrm {Ai}$ через

${\frac {\mathrm {Ai} (x)\mathrm {Ai} '(y)-\mathrm {Ai} '(x)\mathrm {Ai} (y)}{x-y}}.$

Также её можно представить интегралом

$F_{2}(s)=\exp \left(-\int _{s}^{\infty }(x-s)q^{2}(x)\,dx\right)$

через решение уравнения Пенлеве II

$q^{\prime \prime }(s)=sq(s)+2q(s)^{3}\,{\mbox{,}}$

где $q$, называемое решением Гастингса—Мак-Леода, удовлетворяет граничным условиям:

$\displaystyle q(s)\sim {\textrm {Ai}}(s),s\rightarrow \infty .$

Другие распределения Трейси — Видома

Распределения Трейси — Видома $F_{1}$ и $F_{4}$ для ортогональных ($\beta =1$) и симплектических ($\beta =4$) ансамблей также выразимы через трансцендент Пенлеве $q$:

$F_{1}(s)=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\int _{s}^{\infty }q(x)\,dx\right)\,\left(F_{2}(s)\right)^{1/2}$

и

$F_{4}(s/{\sqrt {2}})=\mathrm {ch} \left({\frac {1}{2}}\int _{s}^{\infty }q(x)\,dx\right)\,\left(F_{2}(s)\right)^{1/2}.$

Существует расширение этого определения на случаи $F_{\beta }$ при всех $\beta >0$.

Численные приближения

Численные методы получения приближённых решений уравнений Пенлеве II и Пенлеве V и численно определённые распределения собственных значений случайных матриц в бета-ансамблях впервые были представлены в 2005 году (использовался MATLAB). Эти приближённые методы позднее были аналитически уточнены и используются для получения численного анализа Пенлеве II и распределений Трейси — Видома (для $\beta =1,2,4$) в S-PLUS. Эти распределения были табулированы до четырёх значащих цифр по значениям аргумента с шагом 0.01; в работе также присутствовала статистическая таблица p-значений. В 2009 году даны точные и быстрые алгоритмы численного определения $F_{\beta }$ и функций плотности $\textstyle f_{\beta }(s)={dF_{\beta } \over ds}$ для $\beta =1,2,4$. По этим алгоритмам можно численно подсчитать среднее значение, дисперсию, асимметрию и эксцесс распределений $F_{\beta }$.

β	Среднее	Дисперсия	Коэффициент асимметрии	Эксцесс
1	−1.2065335745820	1.607781034581	0.29346452408	0.1652429384
2	−1.771086807411	0.8131947928329	0.224084203610	0.0934480876
4	−2.306884893241	0.5177237207726	0.16550949435	0.0491951565

Функции для работы с законами Трейси — Видома также представлены в пакете для R RMTstat и в пакете для MATLAB RMLab.

Вычислено также простое приближение на основе смещённых гамма-распределений.

Литература

• Доценко В. С. Универсальная случайность // УФН. — 2011. — Т. 181, № 3. — doi:10.3367/UFNr.0181.201103b.0269.
• Baik, J.; Deift, P.; Johansson, K. (1999), "On the distribution of the length of the longest increasing subsequence of random permutations", Journal of the American Mathematical Society, 12 (4): 1119—1178, doi:10.1090/S0894-0347-99-00307-0, JSTOR 2646100, MR 1682248.
• Deift, P. (2007), "Universality for mathematical and physical systems" (PDF), International Congress of Mathematicians (Madrid, 2006), European Mathematical Society, pp. 125—152, MR 2334189.
• Johansson, K. (2000), "Shape fluctuations and random matrices", Communications in Mathematical Physics, 209 (2): 437—476, arXiv:math/9903134, Bibcode:2000CMaPh.209..437J, doi:10.1007/s002200050027.
• Johansson, K. (2002), "Toeplitz determinants, random growth and determinantal processes" (PDF), Proc. International Congress of Mathematicians (Beijing, 2002), vol. 3, Beijing: Higher Ed. Press, pp. 53—62, MR 1957518.
• Johnstone, I. M. (2007), "High dimensional statistical inference and random matrices" (PDF), International Congress of Mathematicians (Madrid, 2006), European Mathematical Society, pp. 307—333, MR 2334195.
• Johnstone, I. M. (2008), "Multivariate analysis and Jacobi ensembles: largest eigenvalue, Tracy–Widom limits and rates of convergence", Annals of Statistics, 36 (6): 2638—2716, arXiv:0803.3408, doi:10.1214/08-AOS605, PMC 2821031, PMID 20157626.
• Johnstone, I. M. (2009), "Approximate null distribution of the largest root in multivariate analysis", Annals of Applied Statistics, 3 (4): 1616—1633, arXiv:1009.5854, doi:10.1214/08-AOAS220, PMC 2880335, PMID 20526465.
• Majumdar, Satya N.; Nechaev, Sergei (2005), "Exact asymptotic results for the Bernoulli matching model of sequence alignment", Physical Review E, 72 (2): 020901, 4, doi:10.1103/PhysRevE.72.020901, MR 2177365.
• Patterson, N.; Price, A. L.; Reich, D. (2006), "Population structure and eigenanalysis", PLoS Genetics, 2 (12): e190, doi:10.1371/journal.pgen.0020190, PMC 1713260, PMID 17194218{{citation}}: Википедия:Обслуживание CS1 (не помеченный открытым DOI) (ссылка).
• Prähofer, M.; Spohn, H. (2000), "Universal distributions for growing processes in 1+1 dimensions and random matrices", Physical Review Letters, 84 (21): 4882—4885, arXiv:cond-mat/9912264, Bibcode:2000PhRvL..84.4882P, doi:10.1103/PhysRevLett.84.4882, PMID 10990822.
• Takeuchi, K. A.; Sano, M. (2010), "Universal fluctuations of growing interfaces: Evidence in turbulent liquid crystals", Physical Review Letters, 104 (23): 230601, arXiv:1001.5121, Bibcode:2010PhRvL.104w0601T, doi:10.1103/PhysRevLett.104.230601, PMID 20867221
• Takeuchi, K. A.; Sano, M.; Sasamoto, T.; Spohn, H. (2011), "Growing interfaces uncover universal fluctuations behind scale invariance", Scientific Reports, 1: 34, arXiv:1108.2118, Bibcode:2011NatSR...1E..34T, doi:10.1038/srep00034
• Tracy, C. A.; Widom, H. (1993), "Level-spacing distributions and the Airy kernel", Physics Letters B, 305 (1—2): 115—118, arXiv:hep-th/9210074, Bibcode:1993PhLB..305..115T, doi:10.1016/0370-2693(93)91114-3.
• Tracy, C. A.; Widom, H. (1994), "Level-spacing distributions and the Airy kernel", Communications in Mathematical Physics, 159 (1): 151—174, arXiv:hep-th/9211141, Bibcode:1994CMaPh.159..151T, doi:10.1007/BF02100489, MR 1257246.
• Tracy, C. A.; Widom, H. (2002), "Distribution functions for largest eigenvalues and their applications" (PDF), Proc. International Congress of Mathematicians (Beijing, 2002), vol. 1, Beijing: Higher Ed. Press, pp. 587—596, MR 1989209.
• Tracy, C. A.; Widom, H. (2009), "Asymptotics in ASEP with step initial condition", Communications in Mathematical Physics, 290 (1): 129—154, arXiv:0807.1713, Bibcode:2009CMaPh.290..129T, doi:10.1007/s00220-009-0761-0.
• Bejan, Andrei Iu. (2005), Largest eigenvalues and sample covariance matrices. Tracy–Widom and Painleve II: Computational aspects and realization in S-Plus with applications (PDF), M.Sc. dissertation, Department of Statistics, The University of Warwick.
• Bornemann, F. (2010), "On the numerical evaluation of distributions in random matrix theory: A review with an invitation to experimental mathematics", Markov Processes and Related Fields, 16 (4): 803—866, arXiv:0904.1581, Bibcode:2009arXiv0904.1581B.
• Chiani, M. (2012), Distribution of the largest eigenvalue for real Wishart and Gaussian random matrices and a simple approximation for the Tracy–Widom distribution, arXiv:1209.3394.
• Edelman, A.; Persson, P.-O. (2005), Numerical Methods for Eigenvalue Distributions of Random Matrices, arXiv:math-ph/0501068, Bibcode:2005math.ph...1068E.
• Ramírez, J. A.; Rider, B.; Virág, B. (2006), Beta ensembles, stochastic Airy spectrum, and a diffusion, arXiv:math/0607331, Bibcode:2006math......7331R.

Ссылки

• Kuijlaars, Universality of distribution functions in random matrix theory (PDF).
• Tracy, C. A.; Widom, H., The distributions of random matrix theory and their applications (PDF).
• Johnstone, Iain; Ma, Zongming; Perry, Patrick; Shahram, Morteza (2009), Package 'RMTstat' (PDF).
• Quanta Magazine: At the Far Ends of a New Universal Law