Многозначное отображение

Многозначное отображение — разновидность математического понятия отображения (функции). Пусть $X$ и $Y$ — произвольные множества, а $2^{Y}$ — совокупность всех подмножеств множества $Y.$ Многозначным отображением из множества $X$ в $Y$ называется всякое отображение $F:\ X\to 2^{Y}.$ Обычно областью определения многозначного отображения $F$ является подмножество $X\subset \mathbb {R} ^{n}$, а областью значений — пространство $\Omega (Y)\subset 2^{Y},$ состоящее из непустых компактных подмножеств множества $Y\subset \mathbb {R} ^{m},$ то есть $F:X\to \Omega (Y).$

• Пример 1. Пусть $X=Y=\mathbb {R}$. Ставя в соответствие каждому значению $x\in X$ отрезок $[-|x|,\,|x|],$ мы получаем многозначное отображение $F:\mathbb {R} \to \Omega (\mathbb {R} ).$

• Пример 2. Пусть $f:[0,1]\to \mathbb {R}$ — непрерывная функция. Положим $X=[\min f,+\infty ]$ и $Y=[0,1].$ Ставя в соответствие каждому значению $x\in X$ множество $M(x)=\{y\in [0,1]:f(y)\leq x\},$ мы получаем многозначное отображение $F:X\to \Omega (Y).$

• Пример 3. Контингенция и паратингенция.

Многозначные отображения находят приложения в различных областях математики: негладком и выпуклом анализе, теории дифференциальных уравнений, теории управления, теории игр и математической экономике.

Связанные определения и свойства

• Пространство $\Omega (\mathbb {R} ^{m})$ является метрическим с метрикой Хаусдорфа. Это позволяет ввести понятие непрерывного многозначного отображения.
• Рассматривая для каждого $x\in \mathbb {R} ^{n}$ опорную функцию множества $F(x)\in \Omega (\mathbb {R} ^{m}),$ мы получим вещественнозначную функцию $c(F(x),\psi )$ от двух аргументов: $x\in \mathbb {R} ^{n}$ и $\psi \in (\mathbb {R} ^{n})^{*}$, где звёздочка означает сопряжённое пространство.
• Многозначное отображение $F$ непрерывно тогда и только тогда, когда его опорная функция $c(F(x),\psi )$ непрерывна по переменной $x$ для каждого фиксированного $\psi$.
• Многозначное отображение называется измеримым, если его опорная функция $c(F(x),\psi )$ измерима по переменной $x$ для каждого фиксированного $\psi$.
• Однозначной ветвью или селектором многозначного отображения $F:\mathbb {R} ^{n}\to \Omega (\mathbb {R} ^{m})$ называется такая функция $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},$ что $f(x)\in F(x)$ для любого $x\in \mathbb {R} ^{n}.$
• Лемма Филиппова: у любого измеримого многозначного отображения существует измеримый селектор. Лемма Филиппова имеет многочисленные приложения. В частности, она позволяет установить существование оптимального управления для широкого класса задач в теории управляемых систем.
• Многозначное отображение $F:X\to \Omega (Y)$ называется полунепрерывным сверху (по включению) в точке $x_{0}\in X$, если для любой окрестности множества $F(x_{0})\in \Omega (Y)$ (обозначим её $V(F(x_{0}))$) существует такая окрестность точки $x_{0}\in X$ (обозначим её $U(x_{0})$), что $F(x)\subset V(F(x_{0}))$ для любого $x\in U(x_{0}).$ Многозначное отображение $F:X\to \Omega (Y)$ называется полунепрерывным сверху (по включению), если оно является полунепрерывным сверху в каждой точке $x\in X.$ Непрерывное многозначное отображение (определение с помощью метрики Хаусдорфа) является полунепрерывным сверху.
• Теорема Какутани: Пусть $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ — непустое, компактное, выпуклое подмножество и многозначное отображение $F:X\to \Omega (X)$ имеет своими значениями компактные, выпуклые множества и является полунепрерывным сверху по включению. Тогда отображение $F$ имеет неподвижную точку $x_{*}\in X,$ то есть $x_{*}\in F(x_{*}).$ Теорема Какутани имеет многочисленные приложения в теории игр. В частности, с её помощью легко получается доказательство фундаментального результата теории игр — теоремы Нэша о существовании равновесия в бескоалиционной игре.

См. также

• Многозначная функция
• Дифференциальное включение

Литература

• Борисович Ю. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений, — Любое издание.
• Благодатских В. И. Введение в оптимальное управление, — Высшая школа, Москва, 2001.
• Благодатских В. И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление, — Тр. МИАН, т.169 (1985).
• Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач, — Физматлит, Москва, 1974.
• Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи, — Наука, Москва, 1980.
• Воробьёв Н. Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры, — Наука, Москва, 1984.