Выразимость в радикалах

Не следует путать с радикалом целого числа.

Выразимость в радикалах означает возможность выразить число или функцию через простейшие числа или функции при помощи извлечения корня целой степени и арифметических операций — сложения, вычитания, умножения, деления.

Для чисел

Первичные определения

Стандартное определение

Элемент $a$ поля $F$ называется выразимым в радикалах над подполем $G$ поля $F$, если существует алгебраическое выражение, в которое в качестве чисел входят только элементы поля $G$, значение которого равно $a$. В случае, если в поле $F$ корень является многозначной функцией, считается достаточным равенство числа $a$ хотя бы одному из возможных значений алгебраического выражения.

Иначе говоря, множество выразимых в радикалах чисел состоит из множества значений всех рациональных выражений, частных сумм радикалов от значений рациональных выражений и частных сумм вложенных радикалов от значений рациональных выражений.

Определение без использования отсылок к формальному языку математики

Пусть $G$ является подполем поля $F$. Рассмотрим такую конечную цепочку вложенных полей $G_{0}\subset G_{1}\subset \dots \subset G_{s}$, что $G_{0}=G$ и $G_{i}=G_{i-1}(\alpha _{i})$ для любого $i$ от $1$ до $s$, где $\alpha _{i}$ — такое число из поля $F$, что для некоторого натурального $n_{i}$ число $\alpha _{i}^{n_{i}}$ принадлежит $G_{i-1}$. Число $a\in F$ называется выразимым в радикалах над подполем $G$ поля $F$, если при некотором $s$ для него найдутся такие наборы $\alpha _{i}$ и $n_{i}$, что $a\in G_{s}$.

Прочие определения

• Действительное число $x$ называется выразимым в действительных радикалах, если оно выразимо в радикалах над подполем рациональных чисел $\mathbb {Q}$ поля действительных чисел $\mathbb {R}$. Корни чётной степени в принимающем значение $x$ алгебраическом выражении при этом позволяется брать только из неотрицательных чисел, то есть значение любого подвыражения рассматриваемого выражения должно иметь нулевую мнимую часть.
• Комплексное число $z$ (которое может являться и действительным) называется выразимым в комплексных радикалах, если оно выразимо в радикалах над подполем рациональных чисел $\mathbb {Q}$ поля комплексных чисел $\mathbb {C}$. Выразимое в действительных радикалах число всегда является выразимым в комплексных радикалах. Первичное возникновение комплексных чисел в алгебраическом выражении, принимающем значение $z$, может происходить только благодаря извлечению корня чётной степени из отрицательных чисел. Для упрощения работы с неоднозначностью корней $n$-ой степени в комплексных числах применяются различные методы указания на то, какой из корней является необходимым для получения данного числа: например, комплексные корни из единицы, являющиеся важными константами, пронумерованы явно в порядке против часовой стрелки на стандартной комплексной плоскости, начиная с самой единицы.
• Элемент $a$ поля $F$ называется выразимым в радикалах степени $n$ над подполем $G$ поля $F$, если некоторое алгебраическое выражение с числами из $G$, значение которого равно $a$, из возможных корней содержит только корни степени $n$. В частности, при $n=2$ число $a$ называется выразимым в квадратных радикалах, а при $n=3$ выразимым в кубических радикалах. Возможны также комбинации: например, числа ${\sqrt {2+{\sqrt[{3}]{2}}}}$ и ${\sqrt {2}}+{\sqrt[{3}]{2}}$ являются выразимыми в квадратных и кубических радикалах над полем рациональных чисел $\mathbb {Q}$. Определение, не выходящее за рамки стандартного формального языка, имеет следующий вид: элемент $a$ поля $F$ называется выразимым в радикалах степени $n$ над подполем $G$ поля $F$, если он выразим в радикалах над полем $G$ и все $n_{i}$, участвующие в определении выразимости в радикалах для $a$, данном выше, равны $n$.
• Число, выразимое в действительных квадратных радикалах, называется вещественно построимым.
• Пусть $K$ — поле. Тогда поле $K({\sqrt[{n}]{a}})$, где $a\in K$ и ${\sqrt[{n}]{a}}\notin K$, называется радикальным расширением поля $K$. Таким образом, в построенной выше цепочке полей $G_{0}\subset G_{1}\subset \dots \subset G_{s}$ каждое следующее является некоторым радикальным расширением предыдущего. В случае $n=2$ указанное поле называется квадратичным расширением поля $K$, то есть число, выразимое в квадратных радикалах, принадлежит очередному полю в цепочке квадратичных расширений изначального подполя.
• Число, выразимое в радикалах, называется выразимым за $n$ радикалов, если среди всех равных ему алгебраических выражений минимальное количество корней в них равно $n$.

Примеры

• Число ${\sqrt {3+{\sqrt {8}}}}$ выразимо в действительных квадратных радикалах, то есть вещественно построимо. Одновременно оно выразимо в действительных радикалах любой степени вида $2^{n}$, где $n$ — натуральное, так как ${\sqrt {3+{\sqrt {8}}}}={\sqrt[{2^{n}}]{{\Big (}3+{\sqrt[{2^{n}}]{8^{2^{n-1}}}}{\Big )}^{2^{n-1}}}}$.
• Число ${\sqrt {6+{\sqrt {32}}}}+{\sqrt {6-{\sqrt {32}}}}$ также на первый взгляд кажется выразимым только в радикалах любой степени вида $2^{n}$, однако на самом деле оно выразимо в радикалах любой степени и любого вида, так как ${\sqrt {6+{\sqrt {32}}}}+{\sqrt {6-{\sqrt {32}}}}=4={\sqrt[{n}]{4^{n}}}$ для любого $n$.
• Не всегда сразу можно определить и такое минимальное $n$, что рассматриваемое число выразимо за $n$ радикалов, так как с виду выразимое за два квадратных радикала число ${\sqrt {17+{\sqrt {288}}}}$ на самом деле равно ${\sqrt {9+2\cdot 3\cdot {\sqrt {8}}+8}}={\sqrt {(3+{\sqrt {8}})^{2}}}=3+{\sqrt {8}}$ и является выразимым за один квадратный радикал.
• Больше подобных примеров приведено в статье вложенные радикалы.
• Число ${\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {\pi }}}}$ выразимо в радикалах над подполем $\mathbb {Q} (\pi )$ поля $\mathbb {R}$, так как единственный корень чётной степени в данном алгебраическом выражении извлекается из неотрицательного числа $\pi$, но не выразимо в действительных радикалах, так как $\pi \notin \mathbb {Q}$. В отличие от предыдущих пунктов, в данном случае мы можем говорить о негативном свойстве рассматриваемого числа на основании конкретной его записи, так как, предположив, что оно выразимо в действительных радикалах, мы легко получили бы алгебраическое выражение для $\pi$, которого не существует в силу трансцендентности этого числа (см. раздел общие свойства).

Пояснения

• Под выразимостью в радикалах в отношении действительного числа без прочих уточнений в литературе обычно подразумевается выразимость в комплексных радикалах.

Для функций, многочленов и уравнений

Первичные определения

Стандартное определение

Функция $f$, принимающая значения в поле $F$ и зависящая от некоторого количества параметров, называется выразимой в радикалах над подполем $G$ поля $F$, если существует алгебраическое выражение, в которое в качестве чисел входят только элементы поля $G$ и указанные параметры, значение которого совпадает со значением $f$ при любых допустимых значениях этих параметров.

Определение без использования отсылок к формальному языку математики

Пусть $G$ является подполем поля $F$. Рассмотрим такую конечную цепочку вложенных полей $K_{0}\subset K_{1}\subset \dots \subset K_{s}$, элементами которых являются функции из $F$ (возможно, без нескольких точек во избежание деления на ноль) в $F$, что $K_{0}$ состоит из всех рациональных функций над $G$, а $K_{i}=K_{i-1}(f_{i})$ для любого $i$ от $1$ до $s$, где $f_{i}$ — такая непрерывная функция на $F$, что для некоторого натурального $n_{i}$ функция $f_{i}^{n_{i}}$ принадлежит $K_{i-1}$. Функция $f\colon F\to F$ называется выразимой в радикалах над подполем $G$ поля $F$, если при некотором $s$ для неё найдутся такие наборы $f_{i}$ и $n_{i}$, что $f\in K_{s}$.

Прочие определения

• Многозначная функция $f$ называется выразимой в радикалах над подполем $G$, если все выделяемые из неё однозначные функции также выразимы в радикалах над подполем $G$.
• Многочлен от одной переменной, зависящий от некоторого количества параметров (определяющих некоторые его коэффициенты), называется разрешимым в радикалах, если выразима в радикалах непрерывная и, возможно, многозначная функция, сопоставляющая набору значений параметров соответствующий ему набор корней многочлена.
• Алгебраическое уравнение называется разрешимым в радикалах, если разрешим в радикалах многочлен, приравнивающийся к нулю в этом уравнении.
• К функциям и многочленам применимы все ограничения определения выразимости и разрешимости в радикалах соответственно, указанные выше. Например, функция $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$, определённая как $f(x)={\sqrt {x-{\sqrt {x}}}}$ на всей действительной прямой, выразима в квадратных комплексных радикалах.

Примеры

• Многозначная функция $f(x)\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$, $f(x)={\sqrt {x}}+\pi +{\sqrt[{3}]{x}}$ выразима в радикалах, так как все шесть выделяемых из неё однозначных функций $g(x)$ удовлетворяют условию $g(x)={\sqrt {x}}+\pi +{\sqrt[{3}]{x}}$, где ${\sqrt {x}}+\pi +{\sqrt[{3}]{x}}$ — алгебраическое выражение, использующее только переменную, выступающую в качестве аргумента функции, и комплексные числа.
• Многочлен $x^{5}+2ax^{3}+a^{2}x$ разрешим в комплексных квадратных радикалах, так как при любом $a$ его корни задаются функцией $x\mapsto 0,{\sqrt {-a}},-{\sqrt {-a}}$. Однако разрешимым в действительных радикалах этот многочлен может являться только при том ограничении, что число $a$ принадлежит множеству неположительных чисел.

Пояснения

• В случае с комплексной функцией без уточнения подполя $G$ оно обычно подразумевается равным тому же множеству комплексных чисел $\mathbb {C}$.
• Важно отметить тот факт, что выразимость в радикалах функции и выразимость в радикалах образа каждого элемента при её применении не равносильны: к примеру, удовлетворяющая второму условию функция на $\mathbb {R}$ может не быть непрерывной, в то время как для удовлетворяющей первому условию это требование обязательно.

Общие свойства

• Множества выразимых в радикалах чисел и выразимых в радикалах функций являются полями, содержащими поля, над которыми они выразимы в радикалах, в качестве подполей.
• Любое выразимое в радикалах комплексное число является алгебраическим, однако не любое алгебраическое число выразимо в радикалах. Первое утверждение следует из алгебраичности рациональных чисел и из того, что множество алгебраических чисел является полем (на каждом шаге перехода от $G_{i-1}$ к $G_{i}$ в определении выразимого в радикалах числа алгебраические числа порождают только алгебраические). Второе утверждение следует из нижеследующей теоремы о существовании уравнения $5$ степени с целыми коэффициентами, хотя бы один из корней которого невыразим в радикалах. Точно также, любая выразимая в радикалах функция является алгебраической, в то время как не всякая алгебраическая функция выразима в радикалах. Иными словами, поле алгебраических чисел содержит поле чисел, выразимых в радикалах, а поле алгебраических функций содержит поле функций, выразимых в радикалах, однако обратные утверждения неверны.
• Любая выразимая в радикалах функция переводит множества чисел, выразимых в радикалах, алгебраических чисел и трансцендентных чисел над тем же полем внутрь них самих. В случае, если аргумент многозначной выразимой в радикалах функции целиком состоит из чисел одного из этих множеств, образ также попадает в него. Однако только последние два множества всегда целиком являются образами себя. Получить выразимое в радикалах число, получаемое при применении выразимой в радикалах функции только к невыразимым в радикалах числам, можно следующим образом: возьмём многочлен $5$ степени с целыми коэффициентами, ни один из корней которого не выразим в радикалах и свободный член которого не равен нулю (по теореме Кронекера, описанной ниже, в качестве такого многочлена может подойти, к примеру, $x^{5}-4x+2$). Тогда функция, заданная таким многочленом без свободного члена, принимает равное ему значение только в корнях этого многочлена, невыразимых в радикалах, в то время как сам свободный член является целым числом и, очевидно, выражается в любых радикалах.

Геометрические и тригонометрические теоремы

• Основная теорема теории геометрических построений: при наличии на плоскости отрезка длины $1$ отрезок длины $x$ построим циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда число $x$ является вещественно построимым (то есть выразимо в квадратных действительных радикалах). Отсюда следует невозможность квадратуры круга и удвоения куба циркулем и линейкой, поскольку в итоге будут получены непостроимые вещественно числа ${\sqrt {\pi }}$ и ${\sqrt[{3}]{2}}$ соответственно.
• В более общем виде рассмотренная выше теорема звучит так: при данных отрезках длин $a_{1},a_{1},\dots ,a_{n}$ отрезок длины $a$ можно построить циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда $a\in \mathbb {Q} (a_{1},a_{1},\dots ,a_{n})$.
• Теорема Гаусса: Число $\cos {\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big )}$ вещественно построимо тогда и только тогда, когда $n=2^{k}p_{1}p_{2}\dots p_{k}$, где все $p_{i}$ — попарно различные простые числа Ферма. Из данной теоремы, в частности, следует, что число $\cos {\Big (}{\frac {2\pi }{9}}{\Big )}$ не является вещественно построимым, то есть провести циркулем и линейкой трисекцию угла $\cos {\Big (}{\frac {2\pi }{3}}{\Big )}$, а значит, и произвольного угла, невозможно. Аналогичным образом доказывается невозможность разбиения произвольного угла на любое количество равных частей, не являющееся степенью двойки — если бы такое разбиение было возможно, то можно было бы построить углы вида ${\frac {2\pi }{a^{2}}}$, что возможно только при $a=2^{k}$.

Список алгебраических выражений для тригонометрических функций некоторых углов приведён в статье Тригонометрические константы. Побочный результат рассмотренной теоремы состоит в том, что значения тригонометрических функций в угле, составляющем целое число градусов, выражаются в радикалах тогда и только тогда, когда это число делится на $3$.

• Теорема Гаусса — Ванцеля также сразу следует из приведённой выше теоремы Гаусса и гласит, что правильный $n$-угольник может быть построен циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда $n=2^{k}p_{1}p_{2}\dots p_{k}$, где все $p_{i}$ — попарно различные простые числа Ферма, то есть тогда и только тогда, когда косинус его центрального угла, равного ${\frac {2\pi }{n}}\,(\mathrm {rad} )$, вещественно построим.
• Несмотря на указанные выше факты, косинус любого угла, кратного $\pi \,(\mathrm {rad} )$, выразим в комплексных радикалах, так как $\cos {\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big )}={\frac {1}{2}}{\Big (}u_{2}+{\frac {1}{u_{2}}}{\Big )}$, где $u_{2}$ — второй в стандартной нумерации корень из единицы после самой единицы, а число $\cos {\Big (}{\frac {2\pi m}{n}}{\Big )}$ выражается через $\cos {\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big )}$ или $\sin {\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big )}=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}{\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big )}}}$ при помощи многочленов Чебышёва. Однако даже в тех случаях, когда косинус данного угла выразим только в комплексных радикалах произвольной степени, но не в квадратных действительных, минимальная степень радикалов соответствующего выражения не обязательно равна $n$: например, $\cos {\Big (}{\frac {2\pi }{7}}{\Big )}={\frac {1}{6}}\left(-1+{\sqrt[{3}]{\frac {7+21{\sqrt {-3}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {7-21{\sqrt {-3}}}{2}}}\right)$, то есть это число выразимо в квадратных и кубических радикалах (в данном случае для получения верного значения среди возможных девяти следует взять значения кубических корней с наибольшей действительной частью).

Теоремы о функциях

• Группа Галуа выражающейся в комплексных радикалах функции разрешима. (В данном случае под "группой Галуа функции" подразумевается группа перестановок листов римановой поверхности функции, порождённая кольцевыми перестановками вокруг точек разветвления этой поверхности.)
• Производная функции, выражающейся в радикалах, также выражается в радикалах, поскольку производные всех допустимых в алгебраических выражениях арифметических операций, применённых к функциям, являются алгебраическими выражениями, использующими только значения этих функций и, в случае с корнем, его степень, в качестве переменных:

$\left({f\pm g}\right)'=f'\pm g'$

$\left({fg}\right)'=f'g+fg'$

$\left({f \over g}\right)'={f'g-fg' \over g^{2}}$

${\sqrt[{n}]{x}}'={\frac {1}{n{\sqrt[{n}]{x^{n-1}}}}}$

• Однако обратное неверно: например, производные обратных тригонометрических функций выразимы в радикалах над $\mathbb {Q}$, в то время как сами обратные тригонометрические функции являются трансцендентными функциями, то есть не являются алгебраическими (а любая выразимая в радикалах функция, как уже было сказано выше, является алгебраической):

$\arcsin '(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.$

$\arccos '(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.$

$\operatorname {arctg} '(x)={\frac {1}{\ 1+x^{2}}}.$

$\operatorname {arcctg} '(x)=-{\frac {1}{\ 1+x^{2}}}.$

Теоремы о многочленах

• Многочлен разрешим в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа в общем виде разрешима.
• Теорема Кронекера: хотя бы один из корней неприводимого в рациональных числах уравнения простой степени $n$ с целыми коэффициентами выразим в радикалах как число только в том случае, если среди них ровно один или ровно $n$ действительных. Из этого путём построения неприводимого многочлена $5$ степени с целыми коэффициентами и тремя действительными корнями (примером такого многочлена может служить $x^{5}-4x-2$) мгновенно выводится частный случай следующей теоремы для поля рациональных чисел $\mathbb {Q}$:
• Теорема Абеля-Руффини, гласящая, что уравнения любой степени, не меньшей $5$, с целыми коэффициентами не разрешимы в радикалах в общем виде (то есть при параметризации всех их коэффициентов).
• Однако уравнения с целыми коэффициентами степени до $4$ включительно разрешимы (см. Линейное уравнение, Квадратное уравнение, Кубическое уравнение, Уравнение четвёртой степени). При этом линейные уравнения разрешимы и без использования радикалов, квадратные — только с использованием квадратных радикалов (а при действительных корнях ещё и действительных), кубические и четвёртой степени — только с использованием действительных квадратных и комплексных кубических радикалов . Более того, как видно из формул для решения всех этих уравнений (для $3$ и $4$ степеней см. Формула Кардано и Формула Феррари), они разрешимы даже над полем рациональных чисел.

Формулы для решения уравнений степеней $1$, $2$, $3$

1. $ax+b=0\Leftrightarrow x=-{\frac {b}{a}}$.
2. $ax^{2}+bx+c=0\Leftrightarrow x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$
3. Одно из решений уравнения $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ равно ${\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}-{\frac {b}{3a}}$, где $p={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}$ и $q={\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}$ (следует взять такие значения кубических корней, чтобы число $-{\frac {p}{3}}$ было равно их произведению). Путём вынесения множителя с этим корнем кубическое уравнение преобразовывается в произведение линейного и квадратного, решения для которых даны выше.

Полная формула для одного из решений уравнения $3$ степени

${\sqrt[{3}]{\left(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}\right)+{\sqrt {\left(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{\left(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}\right)-{\sqrt {\left(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}-{\frac {b}{3a}}$

Формулы для степени $4$ в полной форме слишком громоздки.

• Уравнения более узкого класса, называемые возвратными, разрешимы в радикалах вплоть до $9$ степени включительно. Возвратные многочлены нечётной степени $2n+1$ имеют вид $\sum _{k=0}^{n}(a_{k}x^{k}(x^{2n-2k+1}+\lambda ^{2n-2k+1}))$ и представляются в виде произведения скобки $(x+\lambda )$ и некоторого возвратного же уравнения чётной степени, а оно, в свою очередь, выглядит следующим образом: $\sum _{k=0}^{n}(a_{n-k}(x^{n+k}+x^{n-k}\lambda ^{k}))$ и может быть при $x\neq 0\Leftrightarrow \lambda ,a_{0}\neq 0$ записано в виде $x^{n}\sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{n-k}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{k}{\Big )}{\Big )}$, что при откидывании первого множителя может быть преобразовано в многочлен относительно ${\Big (}x+{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}$ степени $n$. По приведённой выше теореме Абеля-Руффини такое уравнение разрешимо в радикалах вплоть до $n=4$, следовательно, возвратное уравнение разрешимо в радикалах вплоть до степени $2\cdot 4+1=9$.
• Также нетрудно убедиться по индукции по $n$, что разрешимы в радикалах в общем виде многочлены вида $P_{1}(P_{2}(\dots P_{n}(x)\dots ))$, где $P_{1},P_{2},\dots P_{n}$ — многочлены степени не выше $4$. Частный случай вида $P(x^{2})$, где $P$ - многочлен $2$ степени, называется биквадратным уравнением и, будучи записанным в виде $ax^{4}+bx^{2}+c$, имеет четыре корня, равные $\pm {\sqrt {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$.
• Пусть $f(x)$ — неприводимый многочлен над полем $K$, а $L$ — поле его разложения. Многочлен $f(x)$ разрешим в квадратных радикалах тогда и только тогда, когда $\dim _{K}L=2^{n}$ (то есть размерность $L$ как линейного пространства над полем $K$ равна $2^{n}$ для некоторого натурального $n$).

Происхождение термина

Под «радикалами» во всех рассмотренных словосочетаниях подразумеваются математические корни целой степени — это слово ведёт своё происхождение от латинского слова «radix», имеющего, помимо прочего, то же значение. Так как операции сложения и умножения вместе с обратными к ним, также разрешённые в алгебраических выражениях, формально определяются до возведения в степень, а значит, и корня, именно корень, как "крайняя" допустимая операция, фигурирует в названии свойства.

Литература

• "Решение уравнений с использованием одного радикала" (Летняя конференция Турнира Городов)
• А.Скопенков "Ещё несколько доказательств из Книги: разрешимость и неразрешимость уравнений в радикалах"
• Лекция в НИУ ВШЭ
• Алексеев В.Б. "Теорема Абеля в задачах и решениях"