Выпуклая оболочка

Выпуклой оболочкой множества $X$ называется наименьшее выпуклое множество, содержащее $X$. «Наименьшее множество» здесь означает наименьший элемент по отношению к вложению множеств, то есть такое выпуклое множество, содержащее данную фигуру, что оно содержится в любом другом выпуклом множестве, содержащем данную фигуру.

Обычно выпуклая оболочка определяется для подмножеств векторного пространства над вещественными числами (в частности в евклидовом пространстве) и на соответствующих аффинных пространствах.

Выпуклая оболочка множества $X$ обычно обозначается $\operatorname {Conv} X$.

Пример

Выпуклая оболочка: пример с лассо

Представьте себе доску, в которую вбито — но не по самую шляпку — много гвоздей. Возьмите верёвку, свяжите на ней скользящую петлю (лассо) и набросьте её на доску, а потом затяните. Верёвка окружает все гвозди, но касается она только некоторых, самых внешних. В таком положении петля и окружённая ей область доски являются выпуклой оболочкой для всей группы гвоздей.

Свойства

• $X$ — выпуклое множество тогда и только тогда, когда $\operatorname {Conv} X=X$.
• Для произвольного подмножества линейного пространства $X$ существует единственная выпуклая оболочка $\operatorname {Conv} X$ — это пересечение всех выпуклых множеств, содержащих $X$.
  • При этом

    $\operatorname {Conv} X=\bigcup _{n=1}^{\infty }~\bigcup _{a_{1},\dots ,a_{n}\in X}~\bigcup _{\lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}=1}{\lambda _{1}a_{1}+\dots +\lambda _{n}a_{n}},~\lambda _{i}\geq 0$

  • Более того, если размерность пространства равна $N$ то верна следующая теорема Каратеодори:

    $\operatorname {Conv} X=\bigcup _{a_{1},\dots ,a_{N+1}\in X}\bigcup _{\lambda _{1}+\dots +\lambda _{N+1}=1}{\lambda _{1}a_{1}+\dots +\lambda _{N+1}a_{N+1}},~\lambda _{i}\geq 0$

• Выпуклой оболочкой конечного набора точек на плоскости является выпуклый плоский многоугольник (в вырожденных случаях — отрезок или точка), причём его вершины являются подмножеством исходного набора точек. Аналогичный факт верен и для конечного набора точек во многомерном пространстве.
• Выпуклая оболочка $X$ равна пересечению всех полупространств, содержащих $X$.
• Теорема Крейна — Мильмана. Выпуклый компакт $K$ в локально выпуклом пространстве $L$ совпадает с замыканием выпуклой оболочки множества своих крайних точек $E(K)$

Вариации и обобщения

Выпуклой оболочкой функции f называют такую функцию $\operatorname {Conv} f$, что

$\operatorname {epi} \;\operatorname {Conv} f=\operatorname {Conv} \;\operatorname {epi} f$,

где epi f — надграфик функции f.

Стоит отметить связь понятия выпуклой оболочки функции с преобразованием Лежандра невыпуклых функций. Пусть f * — преобразование Лежандра функции f. Тогда если $\operatorname {Conv} f$ —собственная функция (принимает конечные значения на непустом множестве), то

$f^{**}={\overline {\operatorname {Conv} }}f$

${\overline {\operatorname {Conv} }}f$ — выпуклое замыкание f, то есть функция, надграфик которой является замыканием надграфика f.

Сложность построения

Из теоремы о верхней границе вытекает, что выпуклая оболочка множества из $n$ точек в пространстве размерности $d$ может быть построена алгоритмом сложности $O(n\log n)$ для двумерного и трёхмерного случая и алгоритмом сложности $O(n^{\lfloor d/2\rfloor })$ в пространствах более высокой размерности.

См. также

• Алгоритм быстрой оболочки
• Алгоритм Грэхема
• Алгоритм Джарвиса
• Алгоритм Киркпатрика
• Алгоритм Чена
• Выпуклость
• Лемма Шепли — Фолкмана
• Метод эластичной сети

Литература

• Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: Физматлит, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.
• Прапарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: Введение = Computational Geometry An introduction. — М.: Мир, 1989. — С. 478.
• Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн, Клифорд. Глава 33. Вычислительная геометрия // Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms. — 2-e издание. — М.: «Вильямс», 2005. — ISBN 5-8459-0857-4.
• Ласло М. Вычислительная геометрия и компьютерная графика на C++. — М.: БИНОМ, 1997. — С. 304.
• Левитин А. В. Глава 3. Метод грубой силы: Поиск выпуклой оболочки // Алгоритмы. Введение в разработку и анализ — М.: Вильямс, 2006. — С. 157. — 576 с. — ISBN 978-5-8459-0987-9
• Г. Г. Магарил-Ильяев, В. М. Тихомиров. Выпуклый анализ и его приложения. Изд. 2-е, исправл. —М.: Едиториал УРСС. 2003. —176 с. —ISBN 5-354-0262-1.