Автоморфная функция

Автомо́рфная фу́нкция — функция $f$, аналитическая в некоторой области $G\subset \mathbb {C}$ и удовлетворяющая в этой области соотношению $f(g(z))=f(z)$, где $g$ — элемент некоторой счётной подгруппы группы дробно-линейных преобразований комплексной плоскости.

История

Класс автоморфных функций, обобщающий класс эллиптических функций, был введён и исследован французским математиком Анри Пуанкаре в работах 1880-х годов.

На протяжении XIX века практически все видные математики Европы участвовали в развитии теории эллиптических функций, оказавшихся чрезвычайно полезными при решении дифференциальных уравнений. Всё же эти функции не вполне оправдали возлагавшиеся на них надежды, и многие математики стали задумываться над тем, нельзя ли расширить класс эллиптических функций так, чтобы новые функции были применимы и для тех уравнений, где эллиптические функции бесполезны.

Пуанкаре впервые нашёл эту мысль в статье Лазаря Фукса, виднейшего в те годы специалиста по линейным дифференциальным уравнениям (1880). В течение нескольких лет Пуанкаре далеко развил идею Фукса, создав теорию нового класса функций, который он, с обычным для Пуанкаре равнодушием к вопросам приоритета, предложил назвать фуксовы функции (фр. les fonctions fuchsiennes) — хотя имел все основания дать этому классу своё имя. Дело закончилось тем, что Феликс Клейн предложил название «автоморфные функции», которое и закрепилось в науке. Пуанкаре вывел разложение этих функций в ряды, доказал теорему сложения. Эти открытия «можно по справедливости считать вершиной всего развития теории аналитических функций комплексного переменного в XIX веке».

При разработке теории автоморфных функций Пуанкаре обнаружил их связь с геометрией Лобачевского, что позволило ему изложить многие вопросы теории этих функций на геометрическом языке. Он опубликовал наглядную модель геометрии Лобачевского, с помощью которой иллюстрировал материал по теории функций.

После работ Пуанкаре эллиптические функции из приоритетного направления науки превратились в ограниченный частный случай более мощной общей теории. В XX веке результаты Пуанкаре были распространены на случай функций многих переменных (см., например, модулярные функции). Предприняты попытки ещё более обобщить класс автоморфных функций (автоморфные формы).

Применение

Автоморфные функции находят широкое применение во многих областях точных наук. В частности:

• Они позволяют решить любое линейное дифференциальное уравнение с алгебраическими коэффициентами.
• Доказана возможность униформизации алгебраических кривых, то есть представления их через автоморфные функции. Это 22-я проблема Гильберта, решённая Пуанкаре в 1907 году.
• Методы данной теории эффективно применяются в алгебраической геометрии, теории алгебраических групп, теории многообразий и даже в теории чисел.

Литература

• Голубев В. В. Однозначные аналитические функции. Автоморфные функции. — М.: Физматлит, 1961.
• Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. — Т. I, глава 8. — М.-Л.: ГОНТИ, 1937. — 432 с.
• Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX века, в трёх томах. — М.: Наука, 1978—1987. — Т. 2.
• Пуанкаре А. Избранные труды, в трёх томах. — Т. 3. — М.: Наука, 1971—1974.
• Форд Л. P. Автоморфные функции. — пер. с англ. — М.— Л., 1936.
• Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций. — М.: Мир, 1973.
• Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. — М.—Л.: Гостехтеориздат, 1941. — 400 с.
• Сильвестров В. В. Автоморфные функции — обобщение периодических функций // Соросовский образовательный журнал. — 2000. — № 3. — С. 124—127.