Усечённый кубооктаэдр

Граф усечённого кубооктаэдра
Граф усечённого кубооктаэдра
Вершин	48
Рёбер	72
Автоморфизмы	48
Хроматическое число	2
Свойства	кубический ; гамильтонов ; регулярный, ; нуль-симметричный[англ.]
	Медиафайлы на Викискладе

Версия для печати больше не поддерживается и может содержать ошибки обработки. Обновите закладки браузера и используйте вместо этого функцию печати браузера по умолчанию.

Усечённый кубооктаэдр


Тип	Полуправильный многогранник
Грань	квадрат, шестиугольник, восьмиугольник
Граней	$26$
Рёбер	$72$
Вершин	$48$
Граней при вершине	$3$
Телесный угол	4-6:arccos(-sqrt(6)/3)=144°44’08" 4-8:arccos(-sqrt(2)/3)=135° 6-8:arccos(-sqrt(3)/3)=125°15’51"
Точечная группа симметрии	Октаэдрическая, [4,3]⁺, (432), порядок 24
Двойственный многогранник	Гекзакисоктаэдр
Развёртка
С раскраской граней	Вершинная фигура

Усечённый кубооктаэдр^[1]^[2], усечённый кубоктаэдр^[3] — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 12 квадратными гранями, 8 гранями в виде правильного шестиугольника, 6 гранями в виде правильного восьмиугольника, 48 вершинами и 72 рёбрами. Поскольку каждая из граней многогранника имеет центральную симметрию (что эквивалентно повороту на 180°), усечённый кубооктаэдр является зоноэдром.

Другие названия

Этот многогранник имеет несколько названий:

Усечённый кубооктаэдр (Иоганн Кеплер)
Ромбоусечённый кубооктаэдр (Магнус Веннинджер^[4]^[5])
Большой ромбокубооктаэдр (Роберт Вильямс^[англ.] ^[6])
Большой ромбокубооктаэдр (Питер Кромвель ^[7])
Общеусечённый куб (omnitruncated cube) или скос-усечённый куб (cantitruncated cube) (Норман Джонсон^[англ.])

Название усечённый кубооктаэдр, данное первоначально Иоганном Кеплером, несколько вводит в заблуждение. Усечение кубооктаэдра путём отсечения углов (вершин) не позволяет получить эту однородную фигуру — некоторые грани будут прямоугольниками. Однако полученная фигура топологически эквивалентна усечённому кубооктаэдру и всегда может быть деформирована до состояния, когда грани станут правильными.

Альтернативное название — большой ромбокубооктадр — ссылается на тот факт, что 12 квадратных граней лежат в тех же плоскостях, что и 12 граней ромбододекаэдра, который двойственен кубооктаэдру. Ср. малый ромбокубооктаэдр.

Также существует невыпуклый однородный многогранник^[англ.] с тем же именем — невыпуклый большой ромбокубооктаэдр^[англ.].

Декартовы координаты

Декартовы координаты вершин усечённого кубооктаэдра, имеющего ребро длины 2 и имеющего центр в начале координат, являются перестановками чисел:

(±1, ±(1+√2), ±(1+2√2))

Площадь и объём

Площадь A и объём V усечённого кубооктаэдра с ребром длины a равны:

A=12\left(2+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 61.7551724a^{2}

V=\left(22+14{\sqrt {2}}\right)a^{3}\approx 41.7989899a^{3}.

Рассечение

Усечённый кубооктаэдр можно препарировать (вырезать части), превратив его в центральный ромбокубооктаэдр с 6 квадратными куполами^[англ.] над первичными квадратными гранями, 8 треугольными куполами^[англ.] над треугольными гранями и 12 кубами над вторичными квадратными гранями.

Препарированный усечённый кубооктаэдр может дать тороиды Стюарта^[англ.] рода 5, 7 или 11, если удалить центральный ромбокубооктаэдр и либо квадратные купола, либо треугольные купола, или 12 кубов соответственно. Можно построить много других тороидов с меньшей степенью симметрии путём удаления подмножества этих компонент препарации. Например, удаление половины треугольных куполов создаёт тороид рода 3, который (при правильном выборе удаляемых куполов) имеет тетраэдральную симметрию^[8]^[9].

Тороиды Стюарта
Род 3	Род 5	Род 7	Род 11

Однородные раскраски

Существует только одна однородная раскраска граней этого многогранника, по одному цвету на каждый тип грани.

Существует 2-однородная раскраска тетраэдральной симметрией с раскраской шестиугольников в два цвета.

Ортогональные проекции

Усечённый кубооктаэдр имеет две специальные ортогональные проекции в A₂ и B₂ плоскости Коксетера с [6] и [8] проективными симметриями, и множество [2] симметрий можно построить, исходя из различных плоскостей проекции.

Ортогональные проекции
Центрированы относительно	Вершины	Ребра 4-6	Ребра 4-8	Ребра 6-8	Нормали к грани 4-6
Изображение
Проективная симметрия	[2]⁺	[2]	[2]	[2]	[2]
Центрированы относительно	Нормали к квадрату	Нормали к восьмиграннику	Квадратной грани	Шестиугольной грани	Восьмиугольной грани
Изображение
Проективная симметрия	[2]	[2]	[2]	[6]	[8]

Сферические мозаики

Усечённый кубооктаэдр можно представить как сферическую мозаику и спроектировать на плоскость с помощью стереографической проекции. Эта проекция конформна, она сохраняет углы, но не сохраняет длины и площади. Прямые линии на сфере проецируются в круговые дуги на плоскости.

Ортогональная проекция	Стереографические проекции
	квадрат-центрированная	шестиугольник-центрированная	восьмиугольник-центрированная

Связанные многогранники

Усечённый кубооктаэдр входит в семейство однородных многогранников, связанных с кубом и правильным октаэдром.

Однородные октаэдральные многогранники
Симметрия: [4,3], (*432)^[англ.]							[4,3]⁺, (432)	[3⁺,4], (3*2)


{4,3}	t{4,3}	r{4,3}	t{3,4}	{3,4}	rr{4,3}	tr{4,3}	sr{4,3}	s{3,4}
Двойственные многогранники

V4³	V3.8²	V(3.4)²	V4.6²	V3⁴	V3.4³	V4.6.8	V3⁴.4	V3⁵

Этот многогранник можно считать членом последовательности однородных вершинных фигур со схемой (4.6.2p) и диаграммой Коксетера — Дынкина . Для p < 6 члены последовательности являются общеусечёнными^[англ.] многогранниками (зоноэдрами), показанными ниже как сферические мозаики. Для p > 6 они являются мозаиками на гиперболической плоскости, начиная с усечённой трисемиугольной мозаики^[англ.].

*n32 мутации по симметрии полностью усечённых мозаик: *4.6.2n*
Симметрия *n32^[англ.] n,3^[англ.]	Сферическая				Евклидова	Компактная гиперболическая		Паракомп.	Некомпактная гиперболическая
Симметрия *n32^[англ.] n,3^[англ.]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]	[3i,3]
Фигуры
Конфигурация	4.6.4	4.6.6	4.6.8	4.6.10	4.6.12^[англ.]	4.6.14^[англ.]	4.6.16^[англ.]	4.6.∞^[англ.]	4.6.24i	4.6.18i	4.6.12i	4.6.6i
Двойственная
Конфигурация грани	V4.6.4^[англ.]	V4.6.6	V4.6.8^[англ.]	V4.6.10	V4.6.12^[англ.]	V4.6.14^[англ.]	V4.6.16^[англ.]	V4.6.∞	V4.6.24i	V4.6.18i	V4.6.12i	V4.6.6i

*n42 симметрии общеусечённых мозаик: *4.8.2n*
Симметрия *n42 [n,4]	Сферическая		Евклидова	Компактная гиперболическая				Паракомп.
Симметрия *n42 [n,4]	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]…	*∞42 [∞,4]
Общеусечённая фигура	4.8.4	4.8.6	4.8.8	4.8.10	4.8.12	4.8.14	4.8.16	4.8.∞
Общеусечённые двойственные	V4.8.4	V4.8.6	V4.8.8	V4.8.10	V4.8.12	V4.8.14	V4.8.16	V4.8.∞

Граф усечённого кубооктаэдра

В теории графов граф усечённого кубооктаэдра (или граф большого ромбокубооктаэдра) — это граф вершин и рёбер^[англ.] усечённого кубооктаэдра. Он имеет 48 вершин и 72 ребра, нульсимметричен^[англ.] и является кубическим архимедовым графом ^[10].

Примечания

↑ Веннинджер, 1974, с. 39.
↑ Люстерник, 1956, с. 184.
↑ Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 437, 434.
↑ Веннинджер, 1974, с. 20, 39.
↑ Wenninger, 1974, с. 29.
↑ Williams, 1979, с. 82.
↑ Cromwell, 1997, с. 82.
↑ Stewart, 1970.
↑ Adventures Among the Toroids — Chapter 5 — Simplest (R)(A)(Q)(T) Toroids of genus p=1 (неопр.). Дата обращения: 8 ноября 2015. Архивировано 4 февраля 2016 года.
↑ Read, Wilson, 1998, с. 269.

Литература

М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 382—447.
Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.
Magnus Wenninger. Polyhedron Models. — Cambridge University Press, 1974. — ISBN 978-0-521-09859-5. (Модель 15, стр. 29)
Robert Williams. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — Dover Publications, Inc., 1979. — ISBN 0-486-23729-X.. (Секция 3-9, стр. 82)
P. Cromwell. Polyhedra. — United Kingdom: Cambridge, 1997. — С. 79–86 Archimedean solids. — ISBN 0-521-55432-2.
R.C. Read, R.J. Wilson. An Atlas of Graphs. — Oxford University Press, 1998.
B. M. Stewart. Adventures Among the Toroids. — 1970. — ISBN 978-0-686-11936-4.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Great rhombicuboctahedral graph (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
3D convex uniform polyhedra
Editable printable net of a truncated cuboctahedron with interactive 3D view
The Uniform Polyhedra
Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra
great Rhombicuboctahedron: paper strips for plaiting

[_75b3d5c94443edf0-1] Веннинджер, 1974, с. 39.

[_890f5fddf3101d53-2] Люстерник, 1956, с. 184.

[_4011b030f449b594-3] Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 437, 434.

[_df2c43b70bff23de-4] Веннинджер, 1974, с. 20, 39.

[_0f33af25959f6b00-5] Wenninger, 1974, с. 29.

[_a4b25bb2863c79ab-6] Williams, 1979, с. 82.

[_e06469bf5c08a1d0-7] Cromwell, 1997, с. 82.

[_7703484a773cfd20-8] Stewart, 1970.

[9] Adventures Among the Toroids — Chapter 5 — Simplest (R)(A)(Q)(T) Toroids of genus p=1 (неопр.). Дата обращения: 8 ноября 2015. Архивировано 4 февраля 2016 года.

[_2a1fa18183c8a5e5-10] Read, Wilson, 1998, с. 269.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

Усечённый кубооктаэдр

Содержание

Другие названия

Декартовы координаты

Площадь и объём

Рассечение

Однородные раскраски

Ортогональные проекции

Сферические мозаики

Связанные многогранники

Граф усечённого кубооктаэдра

Примечания

Литература

Ссылки

Навигация

Усечённый кубооктаэдр

Другие названия

Декартовы координаты

Площадь и объём

Рассечение

Однородные раскраски

Ортогональные проекции

Сферические мозаики

Связанные многогранники

Граф усечённого кубооктаэдра

Примечания

Литература

Ссылки

Навигация

Поиск