Биекция

Биективная функция.

Функция $f:X\to Y$ называется биекцией (и обозначается $f:X\leftrightarrow Y$), если она:

1. Переводит разные элементы множества X в разные элементы множества Y (инъективность).
2. Любой элемент из $Y\!$ имеет свой прообраз (сюръективность). Иными словами, $\forall y\in Y\exists x\in X:\ f(x)=y$.

Биекцию также называют взаимно однозначным отображением. Множества, для которых существует биекция, называются равномощными.

Примеры

• $id:X\rightarrow X$ — функция, сохраняющая все элементы множества $X$, биективна на этом множестве.
• $f(x)=x,\ f(x)=x^{3}$ — биективные функции из $\mathbb {R}$ в себя. Вообще, любой моном одной переменной нечетной степени является биекцией.
• $f(x)=e^{x}\!$ — биективная функция $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R} _{+}=(0,\infty )$. Но если её рассматривать как функцию в $\mathbb {R}$, то она уже не будет биективной (у отрицательных чисел не будет прообразов).
• $f(x)=\sin x\!$ не является биективной функцией, если считать её определённой на всём $\mathbb {R}$.

Свойства

Композиция инъекции и сюръекции, дающая биекцию.

• Функция $f:X\to Y$ является биективной тогда и только тогда, когда существует обратная функция $f^{-1}:Y\to X$ такая, что $\forall x\in X\;f^{-1}(f(x))=x$ и $\forall y\in Y\;f(f^{-1}(y))=y$.
• Если функции $f$ и $g$ биективны, то и композиция функций $g\circ f$ биективна, в этом случае $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$. Коротко: композиция биекций является биекцией. Обратное, вообще говоря, неверно: если $g\circ f$ биективна, то мы можем утверждать лишь, что $f$ инъективна, а $g$ сюръективна.

См. также

• Функция
• Инъекция
• Сюръекция
• Изоморфизм

Литература

• Н. К. Верещагин, А.Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.

• Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб.: «Лань», 2004—336 с.