Прејди на содржината

Бијекција

Од Википедија — слободната енциклопедија
Бијекција. Има точно една стрелка до секој елемент во кодоменот B (од елемент од доменот А).

Во математиката, бијективна функција или бијекција е функција f : AB која е и инјективна и сурјективна. Тоа значи: за секој елемент b во кодоменот B постои точно еден елемент a од доменот A таков што f(a)=b. Бијекцијата исто така се нарекува 1-1 кореспонденција.[1][2]

Терминот бијективност и сродните термини сурјективност и инјективност беа воведени од страна на Никола Бурбаки (Nicholas Bourbaki)[3] и група други, воглавно француски математичари од 20 век, кој почнувајќи од 1935 година напиша серија книги за презентирање на модерната напредна математика.

Не е бијекција. (Не е ниту сурјекција, ниту инјекција.)

Основни својства

[уреди | уреди извор]

Формално имаме:

  е бијективна функција ако за секој    постои точно еден    таков што  

Елементот се вика претслика на елементот .

Забелешка: Сурјекција значи минимум една претслика. Инјекција значи максимум една претслика. Бијекција значи точно една претслика.

Кардиналност

[уреди | уреди извор]

Кардиналноста на едно множество е мерка на бројот на елементите во множеството. На пример, ако A={X,Y,Z,W}, тогаш кардиналноста на А е 4 и пишуваме #A=4. Кардиналноста на едно множество се одредува преку бијекција помеѓу даденото множество и множество со позната кардиналност.[4]

  • Две множества ја имаат истата кардиналност ако постои бијекција помеѓу нив. (Види кардиналност.)
    • Ако кардиналноста на A и B е конечен број, #A=#B=n тогаш при доказ дека функцијата f:AB e бијекција доволно е да се докаже дека е сурјекција или да се докаже дека е инјекција.
    • Ако кардиналноста на A и B е еднаква, но не е конечен број тогаш ова не важи.

Пример: Нека А=B=ℕ. Идентичната функција f(x)=x e бијекција. Функцијата f(x)=2x е инјекција која не е сурјекција. Функцијата f(x)=round(x/2) е сурјекција која не е инјекција каде што round(z) го заокружува z така што f(1)=round(1/2)=round(0,5)=1, f(2)=round(2/2)=1, f(3)=round(3/2)=round(1,5)=2, ....

Бијекции и инверзни функции

[уреди | уреди извор]
  • Бијекцијата може да се преврти со обратно насочување на сите стрелки од пресликувањето. Новата функција се вика инверзна функција (на првобитната функција). Види инверзна функција.

Формално: Нека f : AB е бијективна функција. Инверзната функција на бијективна функција f е (бијективна) функција g : BA дефинирана со: ако f(a)=b, тогаш g(b)=a. Значи, сите стрелки на пресликување се обратно насочени.

  • Инверзна функција на инверзна функција е првобитната функција.[5])
  • Една функција има инверзна функција ако и само ако е бијекција.[6][7][8]

Забелешка: Нотацијата за инверзна функција на функцијата f е проблематична. Имено, со

  се означува инверзната функција на функцијата f, а со
се означува реципрочната вредност на бројот x.

Елементарни функции

[уреди | уреди извор]

Нека f(x):ℝ→ℝ е реална функција y од реален аргумент x. (Значи влез и излез се броеви.)

  • Графичко толкување: функцијата f е бијекција ако секоја хоризонтала права го пресекува графиконот на f во точно една точка.
  • Алгебарско толкување: функцијата f е бијекција ако за кој било yo постои xo таков што yo=f(xo) и ако f(xo)=f(x1) значи xo=x1.

Пример: Линеарната функција на која било коса права е бијективна, односно y=ax+b каде што a≠0 е бијекција. (Види линеарна функција.) Слика 1.

Дискусија: Види го соодветниот пример кај сурјекција и инјекција.
Инверзна функција: y=(x-b)/a

Пример: Кубната полиномна функција f(x)=x3 е бијекција. Слика 2 и Слика 5: тенката жолта крива.

Инверзна функција е 3-ти корен, односно

f(x)= ∛x. Слика 5: дебелата зелена крива.

Пример: Квадратната функција   f(x) = x2 не е бијекција (од ℝ→ℝ). Слика 3. Не е сурјекција. Не е инјекција. Меѓутоа со ограничување на доменот и кодоменот до множеството на ненегативни броеви [0,+∞) се добива бијекција (види примери подолу).

Бијекции и нивните инверзни функции

[уреди | уреди извор]

Нека f(x):AB каде што A и B се подмножества на ℝ.

  • Да претпоставиме дека f не е бијекција. За кое било x каде што изводот на f постои и не е нула, постои број δ>0 таков да ограничувањето на f на δ-околината на x е бијекцијата (на сликата на околината).[4]
  • Графиконите на меѓусебно инверзни функции се симетрични во однос на правата y=x. (Види и Инверзна функција.)

Пример: Квадратната функција дефинирана на ограничениот домен и кодомен [0,+∞)

  каде што  

е бијекција. Слика 6: тенката жолта крива.

Пример: Функцијата квадратен корен дефинирана на ограничуваниот домен и кодомен [0,+∞)

  каде што  

е бијекцијата дефинирана како инверзната функција на квадратната функција: x2. Слика 6: дебелата зелена крива.

Забелешка: Последниот пример го покажува следното. За одредување дали некоја функција е бијекција или не, потребно е да се знае:

  • доменот на функцијата
  • машината на функцијата
  • кодоменот на функцијата

Пример: Нека машината биде f(x)=x².

  • Оваа машина со домен=ℝ и кодомен=ℝ не е инјекција и не е сурјекција. Меѓутоа,
  • оваа иста машина со домен=[0,+∞) и кодомен=[0,+∞) е и инјекција и сурјекција, па затоа и бијекција.

Пример: Експоненцијалната функција дефинирана на доменот ℝ и на ограничуваниот кодомен (0,+∞)

  каде што  

е бијекција. Слика 4: тенката жолта крива (земено е a=10).

Пример: Логаритамската функција со основа a дефинирана на ограничуваниот домен (0,+∞) и на кодоменот ℝ

  каде што  

е бијекцијата дефинирана како инверзната функција на експоненцијалната функција: ax. Слика 4: дебелата зелена крива (земено е a=10).

Бијекција: секоја вертикална права (во доменот) и секоја хоризонтална права (во кодоменот) го пресекува графиконот во точно една точка.

1. Бијекција. Сите коси прави се бијекции f(x):ℝ→ℝ, f(x)=ax+b, a≠0.

2. Бијекција. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³.

3. Не е бијекција. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x². (Не е сурјекција, ниту инјекција).

4. Бијекции. f(x):ℝ→ (0,+∞). f(x)=10x (тенка жолта) и своја инверзна функција f(x):(0,+∞)→ℝ. f(x)=log10x (дебела зелена).

5. Бијекции. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³ (тенка жолта) и своја инверзна функција f(x)=∛x (дебела зелена).

6. Бијекции. f(x):[0,+∞)→[0,+∞). f(x)=x² (тенка жолта) и своја инверзна функција f(x)=√x (дебела зелена).
  1. Weisstein, Eric. „Bijective function“ (англиски). From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Посетено на 1 January 2014.[мртва врска]
  2. C.Clapham, J.Nicholson (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Bijection“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 88. Посетено на 1 January 2014.
  3. Miller, Jeff (2010). „Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics“ (англиски). Tripod. Посетено на 1 February 2014. |contribution= е занемарено (help)
  4. 4,0 4,1 Tanton, James (2005). Encyclopedia of Mathematics, Cardinality. Facts on File, New York. стр. 60. ISBN 0-8160-5124-0. (англиски)
  5. „Inverse of Bijection is Bijection“ (англиски). Архивирано од изворникот на 2020-09-30. Посетено на 1 February 2014.
  6. „Injection iff Left Inverse“ (англиски). Архивирано од изворникот на 2013-07-20. Посетено на 1 February 2014.
  7. „Surjection iff Right Inverse“ (англиски). Посетено на 1 February 2014.[мртва врска]
  8. „Bijection iff Left and Right Inverse“ (англиски). Посетено на 1 February 2014.[мртва врска]

Поврзано

[уреди | уреди извор]

Надворешни врски

[уреди | уреди извор]