Politop pentagonal

În geometrie un politop pentagonal este un politop regulat în n dimensiuni, construit din grupul Coxeter H_n. Familia acestor politopuri a fost denumită așa de Coxeter, deoarece politopul pentagonal bidimensional este un pentagon. Simbolul său Schläfli este {5, 3ⁿ⁻²} (dodecaedric) sau {3ⁿ⁻², 5} (icosaedric).

Membrii familiei

Familia începe cu 1-politop și se termină cu n = 5 ca teselări infinite ale spațiului hiperbolic cvadridimensional.

Există două tipuri de politopuri pentagonale, denumite dodecaedrice și icosaedrice, prin analogie cu politopurile tridimensionale. Cele două tipuri sunt duale unul față de celălalt.

Dodecaedrice

Familia completă de politopuri pentagonale dodecaedrice este:

1. Segment, { }
2. Pentagon, {5}
3. Dodecaedru, {5, 3} (12 fețe pentagonale)
4. 120-celule, {5, 3, 3} (120 de celule dodecaedrice)
5. Fagure 120-celule de ordinul 3, {5, 3, 3, 3} (teselare a 4-spațiului hiperbolic, ∞ fațete de 120-celule)

Fațetele fiecărui politop pentagonal dodecaedric sunt politopurile pentagonale dodecaedrice cu dimensiunea cu 1 mai mică. Figurile lor de vârf sunt simplexurile cu dimensiunea cu 1 mai mică.

Politopuri pentagonale dodecaedrice

n	Grup Coxeter	Poligon Petrie (proiecție)	Nume Diagramă Coxeter Simbol Schläfli	Fațete	Elemente
					Vârfuri	Laturi	Fețe	Celule	4-fețe
1	$H_{1}$ [ ] (ordin 2)		Segment { }	2 vârfuri	2
2	$H_{2}$ [5] (ordin 10)		Pentagon {5}	5 laturi	5	5
3	$H_{3}$ [5,3] (ordin 120)		Dodecaedru {5, 3}	12 pentagoane	20	30	12
4	$H_{4}$ [5,3,3] (ordin 14400)		120-celule {5, 3, 3}	120 de dodecaedre	600	1200	720	120
5	${\bar {H}}_{4}$ [5,3,3,3] (ordin ∞)		Fagure 120-celule {5, 3, 3, 3}	∞ 120-celule	∞	∞	∞	∞	∞

Icosaedrice

Familia completă de politopuri pentagonale icosaedrice este:

1. Segment, { }
2. Pentagon, {5}
3. Icosaedru, {3, 5} (20 fețe triunghiulare echilaterale]] faces)
4. 600-celule, {3, 3, 5} (600 de celule tetraedrice)
5. Fagure 5-celule de ordinul 5, {3, 3, 3, 5} (teselare a 4-spațiului hiperbolic, ∞ fațete de 5-celule)

Fațetele fiecărui politop pentagonal icosaedric sunt simpexurile cu dimensiunea cu 1 mai mică. Figurile lor de vârf sunt politopurile pentagonale icosaedrice cu dimensiunea cu 1 mai mică.

Politopuri pentagonale icosaedrice

n	Grup Coxeter	Poligon Petrie (proiecție)	Nume Diagramă Coxeter Simbol Schläfli	Fațete	Elemente
					Vârfuri	Laturi	Fețe	Celule	4-fețe
1	$H_{1}$ [ ] (ordin 2)		Segment]] { }	2 vârfuri	2
2	$H_{2}$ [5] (ordin 10)		Pentagon {5}	5 laturi	5	5
3	$H_{3}$ [5,3] (ordin 120)		Icosaedru {3, 5}	20 de triunghiuri echilaterale	12	30	20
4	$H_{4}$ [5,3,3] (ordin 14400)		600-celule {3, 3, 5}	600 de tetraedre	120	720	1200	600
5	${\bar {H}}_{4}$ [5,3,3,3] (ordin ∞)		Fagure 5-celule de ordinul 5 {3, 3, 3, 5}	∞ 5-celule	∞	∞	∞	∞	∞

Politopuri stelate și faguri înrudiți

Politopurile pentagonale pot fi stelate pentru a forma noi politopuri stelate regulate:

• În două dimensiuni, se obține pentagrama {5/2},
• În trei dimensiuni, se formează cele patru poliedre Kepler–Poinsot, {3,5/2}, {5/2,3 }, {5,5/2} și {5/2,5}.
• În patru dimensiuni, se formează cele zece 4-politopuri Schläfli–Hess: {3,5,5/2}, {5/2,5,3}, {5,5/2,5}, {5,3,5/2}, {5/2,3,5}, {5/2,5,5/2}, {5,5/2,3}, {3,5/2,5}, {3,3,5/2} și {5/2,3,3}.
• În spațiul hiperbolic cvadridimensional există patru faguri stelați regulați: {5/2,5,3,3 }, {3,3,5,5/2}, {3,5,5/2,5} și {5,5/2,5,3}.

În unele cazuri, politopurile pentagonale stelate sunt ele însele enumerate printre politopurile pentagonale.

Ca și alte politopuri, stelările regulate pot fi combinate cu duale lor pentru a forma compuși;

• În două dimensiuni se obține o figură stelată decagramică {10/2},
• În trei dimensiuni se obține compusul de dodecaedru și icosaedru,
• În patru dimensiuni se obține compusul de 120-celule și 600-celule.

Politopurile stelate pot fi și ele combinate.

Bibliografie

• en Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN: 978-0-471-01003-6 [1]
  • en (Paper 10) H.S.M. Coxeter, Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
• en Coxeter, Regular Polytopes, 3rd. ed., Dover Publications, 1973. ISBN: 0-486-61480-8. (Table I(ii): 16 regular polytopes {p, q,r} in four dimensions, pp. 292–293)