YBC 7289

YBC 7289 é uma tabuleta babilônica de argila em escrita cuneiforme, notável por conter uma aproximação sexagesimal bastante precisa para a raiz quadrada de dois ( ${\sqrt {2}}$ ), o comprimento da diagonal de um quadrado de lado $1$ . A precisão dessa aproximação é equivalente à de seis casas decimais, "a maior precisão computacional conhecida (...) no mundo antigo".^[1] Acredita-se que a tabuleta seja obra de um estudante na Mesopotâmia meridional, datando do período 1800–1600 AEC, e foi doado à Coleção Babilônica de Yale ou YBC (do inglês Yale Babylonian Collection) por J. P. Morgan.

Conteúdo

A tabuleta representa um quadrado com suas duas diagonais. Um dos lados do quadrado está marcado com o numeral sexagesimal $30$ . A diagonal do quadrado está marcada com dois numerais sexagesimais. O primeiro, $1;24,51,10$ representa o número

1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {305470}{216000}}\approx 1,414213,

uma aproximação numérica de ${\sqrt {2}}$ cujo erro é menor que um em dois milhões. O segundo numeral $42;25,35$ representa o número

42+{\frac {25}{60}}+{\frac {35}{60^{2}}}={\frac {30547}{720}}\approx 42,426,

que é o resultado de multiplicar $30$ pela aproximação de ${\sqrt {2}}$ dada, e aproxima o comprimento da diagonal de um quadrado de lado $30$ .^[1]

Como a notação sexagesimal babilônica não indicava em que casa sexagesimal estava cada dígito uma interpretação alternativa é que o número sobre o lado do quadrado seja ${\frac {30}{60}}={\frac {1}{2}}$ . Com essa interpretação alternativa o número sob a diagonal é ${\frac {30547}{43200}}\approx 0,70711$ , uma boa aproximação para ${\frac {1}{\sqrt {2}}}$ , o comprimento da diagonal de um quadrado de lado ${\frac {1}{2}}$ , cujo erro também é menor que um em dois milhões. David Fowler e Eleanor Robson escrevem, "Temos, portanto, um par de números recíprocos com uma interpretação geométrica...". Eles destacam que, embora a importância de pares de recíprocos na matemática babilônica torne essa interpretação atraente, há razão para ceticismo.^[2]

O verso da tabuleta está parcialmente apagado, mas Robson acredita que contenha um problema parecido a respeito da diagonal de um retângulo cujos dois lados e diagonal estão na proporção $3:4:5$ .^[3]

Interpretação

Apesar de que a tabuleta YBC 7289 seja frequentemente apresentada (como na foto) com o quadrado orientado diagonalmente, as convenções babilônicas padrão para desenhar quadrados colocaria seus lados verticais e horizontais, com o lado numerado acima.^[4] O formato pequeno e redondo da tabuleta, e sua escrita grande, sugerem que se tratava de uma "tabuleta de mão" do tipo usado tipicamente para rascunhos por um estudante, um aprendiz de escriba, que a seguraria na palma de sua mão.^[1]^[2] O aprendiz provavelmente teria copiado o valor sexagesimal de ${\sqrt {2}}$ de outra tabuleta, mas um procedimento iterativo para calcular esse valor pode se achado em outro documento babilônico, BM 96957 + VAT 6598.^[2]

A importância matemática da YBC 7289 foi inicialmente identificada por Otto E. Neugebauer e Abraham Sachs em 1945.^[2]^[5] A tabuleta "demonstra a maior precisão computacional conhecida em todo o mundo antigo", o equivalente a seis casas decimais de precisão.^[1] Outras tabuletas babilônicas incluem o cálculo de áreas de hexágonos e heptágonos, que envolvem a aproximação de números algébricos mais complicados, como ${\sqrt {3}}$ .^[2] O mesmo número ${\sqrt {3}}$ também pode ser usado na interpretação de certos antigos cálculos egípcios das dimensões de pirâmides. Porém, a grande precisão dos números na YBC 7289 torna mais claro que são resultado de um procedimento geral para seu cálculo, em vez de meras estimativas.^[6]

A mesma aproximação sexagesimal $1;24,51,10$ para ${\sqrt {2}}$ foi usada muito depois pelo matemático grego Cláudio Ptolemeu em seu Almagesto.^[7]^[8] Ptolemeu não explica de onde veio essa aproximação e se pode supor que fosse bem conhecida em sua época.^[7]

Origem e curadoria

Não se sabe de onde na Mesopotâmia vem a YBC 7289, mas seu formato e estilo da escrita indicam que provavelmente foi criada na Mesopotâmia meridional, entre 1800 e 1600 AEC.^[1]^[2] A Universidade de Yale a adquiriu em 1909, doada pelo espólio de J. P. Morgan, que possuia várias tabuletas babilônicas; suas doações se tornaram a Coleção Babilônica de Yale ou YBC (do inglês Yale Babylonian Collection).^[1]^[9]

Em Yale o Instituto para preservação da herança cultural (do inglês Institute for the Preservation of Cultural Heritage) produziu um modelo digital da tabuleta, apropriada para impressão 3D.^[9]^[10]^[11]

Referências

↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Beery, Janet L.; Swetz, Frank J. (Julho de 2012). «The best known old Babylonian tablet?». Mathematical Association of America. Convergence. doi:10.4169/loci003889
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Fowler, David; Robson, Eleanor (1998). «Square root approximations in old Babylonian mathematics: YBC 7289 in context». Historia Mathematica. 25 (4): 366–378. MR 1662496. doi:10.1006/hmat.1998.2209
↑ Robson, Eleanor (2007). «Mesopotamian Mathematics». In: Katz, Victor J. The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. [S.l.]: Princeton University Press. p. 143. ISBN 978-3-642-61910-6
↑ Friberg, Jöran (2007). A remarkable collection of Babylonian mathematical texts. Col: Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. [S.l.]: Springer, New York. p. 211. ISBN 978-0-387-34543-7. MR 2333050. doi:10.1007/978-0-387-48977-3
↑ Neugebauer, O.; Sachs, A. J. (1945). Mathematical Cuneiform Texts. Col: American Oriental Series. [S.l.]: American Oriental Society and the American Schools of Oriental Research, New Haven, Conn. p. 43. MR 0016320
↑ Rudman, Peter S. (2007). How mathematics happened: the first 50,000 years. [S.l.]: Prometheus Books, Amherst, NY. p. 241. ISBN 978-1-59102-477-4. MR 2329364
↑ ^a ^b Neugebauer, O. (1975). A History of Ancient Mathematical Astronomy, Part One. [S.l.]: Springer-Verlag, New York-Heidelberg. pp. 22–23. ISBN 978-3-642-61910-6. MR 0465672
↑ Pedersen, Olaf (2011). Jones, Alexander, ed. A Survey of the Almagest. Col: Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. [S.l.]: Springer. p. 57. ISBN 978-0-387-84826-6
↑ ^a ^b Lynch, Patrick (11 de abril de 2016). «A 3,800-year journey from classroom to classroom». Yale News. Consultado em 20 de maio de 2020
↑ «A 3D-print of ancient history: one of the most famous mathematical texts from Mesopotamia». Yale Institute for the Preservation of Cultural Heritage. 16 de janeiro de 2016. Consultado em 20 de maio de 2020
↑ Kwan, Alistair (20 de abril de 2019). «Mesopotamian tablet YBC 7289». University of Auckland. doi:10.17608/k6.auckland.6114425.v1

Notas

Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em inglês cujo título é «YBC 7289», especificamente desta versão.

[BeerySwetz-1] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Beery, Janet L.; Swetz, Frank J. (Julho de 2012). «The best known old Babylonian tablet?». Mathematical Association of America. Convergence. doi:10.4169/loci003889

[FowlerRobson-2] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Fowler, David; Robson, Eleanor (1998). «Square root approximations in old Babylonian mathematics: YBC 7289 in context». Historia Mathematica. 25 (4): 366–378. MR 1662496. doi:10.1006/hmat.1998.2209

[robson-3] Robson, Eleanor (2007). «Mesopotamian Mathematics». In: Katz, Victor J. The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. [S.l.]: Princeton University Press. p. 143. ISBN 978-3-642-61910-6

[friberg-4] Friberg, Jöran (2007). A remarkable collection of Babylonian mathematical texts. Col: Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. [S.l.]: Springer, New York. p. 211. ISBN 978-0-387-34543-7. MR 2333050. doi:10.1007/978-0-387-48977-3

[NeugebaurSachs-5] Neugebauer, O.; Sachs, A. J. (1945). Mathematical Cuneiform Texts. Col: American Oriental Series. [S.l.]: American Oriental Society and the American Schools of Oriental Research, New Haven, Conn. p. 43. MR 0016320

[rudman-6] Rudman, Peter S. (2007). How mathematics happened: the first 50,000 years. [S.l.]: Prometheus Books, Amherst, NY. p. 241. ISBN 978-1-59102-477-4. MR 2329364

[neuhist-7] Neugebauer, O. (1975). A History of Ancient Mathematical Astronomy, Part One. [S.l.]: Springer-Verlag, New York-Heidelberg. pp. 22–23. ISBN 978-3-642-61910-6. MR 0465672

[pedersen-8] Pedersen, Olaf (2011). Jones, Alexander, ed. A Survey of the Almagest. Col: Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. [S.l.]: Springer. p. 57. ISBN 978-0-387-84826-6

[lynch-9] Lynch, Patrick (11 de abril de 2016). «A 3,800-year journey from classroom to classroom». Yale News. Consultado em 20 de maio de 2020

[3Dprint-10] «A 3D-print of ancient history: one of the most famous mathematical texts from Mesopotamia». Yale Institute for the Preservation of Cultural Heritage. 16 de janeiro de 2016. Consultado em 20 de maio de 2020

[Kwan-11] Kwan, Alistair (20 de abril de 2019). «Mesopotamian tablet YBC 7289». University of Auckland. doi:10.17608/k6.auckland.6114425.v1

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]