Norma (matemática)
Em matemática, uma norma consiste em uma função que a cada vetor de um espaço vetorial associa um número real não-negativo. O conceito de norma está intuitivamente relacionado à noção geométrica de comprimento.
Definição
[editar | editar código-fonte]Dado um espaço vetorial sobre o corpo dos números reais ou complexos, uma função é chamada de norma se, para quaisquer e todo [1]
- Se esta condição não for atendida, a função será no máximo uma seminorma.
- (desigualdade triangular)
Se o espaço vetorial tem uma norma, ele passa a ser chamado de espaço normado, e denotado por
Métrica e topologia induzida
[editar | editar código-fonte]Toda norma induz de forma natural uma métrica em cujos valores são dados por:[2]
Também induz uma topologia localmente convexa que é gerada por todas as bolas:
Normas equivalentes
[editar | editar código-fonte]Duas normas e sobre o mesmo espaço vetorial são ditas equivalentes se existirem constantes reais positivas e tais que:
Quando duas normas são equivalentes, elas induzem a mesma topologia.
Normas em espaços de dimensão finita
[editar | editar código-fonte]Seja a representação de um vetor em ou
As normas canônicas definidas nestes espaços são as chamadas normas :
O caso particular em que corresponde à norma euclidiana:
Outras normas podem ainda ser definidas, no entanto, pode-se demonstrar que todas elas serão equivalentes.
Norma matricial
[editar | editar código-fonte]Se o espaço vetorial considerado é aquele formado pelas matrizes reais ou complexas de ordem denotado por uma norma sobre esse espaço é chamada de norma matricial. Um exemplo de norma matricial é a norma 1, denotada definida como o máximo da soma módulo das entradas de cada linha, ou seja se então a norma 1 da matriz é o número não negativo dado por[3]
A norma 1 da matriz por exemplo, é[4]
Normas em espaços de dimensão infinita
[editar | editar código-fonte]Espaços LP
[editar | editar código-fonte]As normas têm análogos em alguns espaços de dimensão infinita.
Produto interno
[editar | editar código-fonte]Se um espaço vetorial possui um produto interno, este pode definir uma norma, dada pelo produto interno do vetor com ele mesmo.[5]
Se uma norma provém de um produto interno, ela satisfaz a identidade do paralelogramo.[6]
Notas
[editar | editar código-fonte]Referências
[editar | editar código-fonte]- SANTOS, José Carlos. Introdução à Topologia. Departamento de Matemática - Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. Junho de 2010, 171 páginas. Disponível em: <http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/PDF/Topologia.pdf>. Acesso em: 12 jan. 2010. Página 60.
- Boldrini, José Luiz et. al. Álgebra Linear 3ª ed. [S.l.]: Harbra. p. 342
- Lima, Elon Lages (1981). Curso de análise, Volume 2. Instituto de Matemática Pura e Aplicada. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada