Equações de campo de Einstein
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/26/Gravitation_space_source.png/220px-Gravitation_space_source.png)
Em física, a equação de campo de Einstein ou a equação Einstein é uma equação na teoria da gravitação, chamada relatividade geral, que descreve como a matéria gera gravidade e, inversamente, como a gravidade afeta a matéria. A equação do campo de Einstein se reduz à lei de Newton da gravidade no limite não-relativista, isto é, a velocidades baixas e campos gravitacionais pouco intensos.
Na equação, a gravidade se dá em termos de um tensor métrico, uma quantidade que descreve as propriedades geométricas do espaço-tempo tetradimensional. A matéria é descrita por seu tensor de energia-momento, uma quantidade que contém a densidade e a pressão da matéria. Estes tensores são tensores simétricos 4 x 4, de modo que têm 10 componentes independentes. Dada a liberdade de escolha das quatro coordenadas do espaço-tempo, as equações independentes se reduzem a 6. A força de acoplamento entre a matéria e a gravidade é determinada pela constante gravitacional universal.
Solução da equação de campo de Einstein
[editar | editar código-fonte]Uma solução da equação de campo de Einstein é certa métrica apropriada para a distribuição dada da massa e da pressão da matéria. Algumas soluções para uma situação física dada são com as que se seguem.
Distribuição de massa esférica simétrica e estática
[editar | editar código-fonte]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e7/Schwarzschild_interior.jpg/220px-Schwarzschild_interior.jpg)
A solução para o vazio ao redor de uma distribuição de massa esférica simétrica e estática é a métrica de Schwarzschild e métrica de Kruskal-Szekeres. Se aplica a uma estrela e conduz à previsão de um horizonte de eventos além do qual não se pode observar. Prevê a possível existência de um buraco negro de massa dada da qual não pode ser extraída nenhuma energia, no sentido clássico do termo (isto é, não é válido para o domínio da mecânica quântica - ver radiação de Hawking).
Massa de simetria axial em rotação
[editar | editar código-fonte]A solução para o espaço vazio ao redor de uma distribuição de massa de simetria axial em rotação é a métrica de Kerr. Se aplica a uma estrela que gire e conduz à previsão da existência possível de um buraco negro em rotação de massa dada e momento angular , do qual a energia rotacional pode ser extraída.
Universo isotrópico e homogêneo
[editar | editar código-fonte]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/98/End_of_universe.jpg/220px-End_of_universe.jpg)
A solução para um Universo isotrópico e homogêneo, totalmente com densidade constante e de uma pressão insignificante, é a Métrica de Friedmann-Robertson-Walker. Se aplica ao Universo em sua totalidade e conduz a diversos modelos de sua evolução que predizem um Universo em expansão. Em 2016, uma equipe de cosmólogos mostrou que o universo é "isotrópico", ou o mesmo, não importa maneira que é observado: Não há eixo de rotação ou qualquer outra direção especial no espaço.[1]
Forma matemática da equação do campo de Einstein
[editar | editar código-fonte]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/45/EinsteinLeiden4.jpg/220px-EinsteinLeiden4.jpg)
A equação do campo de Einstein descreve como o espaço-tempo se curva pela matéria e, reciprocamente, como a matéria é influenciada pela curvatura do espaço-tempo, ou digamos, como a curvatura dá lugar à gravidade.
A equação do campo se apresenta como se segue:
onde o tensor é a curvatura de Einstein, uma equação diferencial de segunda ordem em termos do tensor métrico , e é o tensor de energia-momento. A constante de acoplamento se dá em termos de é Pi, é a velocidade da luz e é a constante gravitacional.
O tensor da curvatura de Einstein se pode escrever como
onde além disso é o tensor de curvatura de Ricci, é o escalar de curvatura de Ricci e é a constante cosmológica.
A equação do campo portanto também pode apresentar-se como se segue:
é um tensor simétrico 4 x 4, assim que tem 10 componentes independentes. Dada a liberdade de escolha das quatro coordenadas do espaço-tempo, as equações independentes se reduzem em número a 6.
Estas equações são a base da formulação matemática da relatividade geral.
Interpretacão geométrica da Equação de Einstein
[editar | editar código-fonte]Esta seção não cita fontes confiáveis. (Janeiro de 2019) |
A Teoria da relatividade mostra que a massa dos corpos depende do observador, pois esta varia com sua velocidade aparente, tal como no conceito de simultaneidade, e portanto também o espaço que se observa (formado por todos os eventos simultâneos). Assim, a equação de Einstein pode enunciar-se também afirmando que para cada observador, a curvatura escalar do espaço é proporcional à densidade aparente :
onde c = 3 × 1010 [cm s-1] é a velocidade da luz e G = 6,67 × 10-8 [cm³ s-2 g-1] é a constante da gravitação universal. De acordo com o significado geométrico da curvatura escalar, esta igualdade afirma que em uma esfera de massa M e densidade constante, o excesso radial (a diferença entre o raio real e o raio que corresponderia na geometria euclidiana a uma esfera de igual área) é igual a
Por exemplo, no caso da Terra o excesso radial é de 0,15 cm e no caso do Sol é de aproximadamente 500 metros.
É notável que, esta equação, que introduz mínimas correções nas fórmulas da geometria euclidiana, atinja quase todas as equações conhecidas da Física macroscópica. Com efeito, quando a velocidade da luz c tende ao infinito, dela se derivam a Lei newtoniana da Gravitação, a Equação de Poisson e, portanto, o caráter atrativo das forças gravitacionais, as equações da mecânica dos fluidos (equação de continuidade e equações de Euler), as leis de conservação da massa-energia e do momento, o caráter euclidiano do espaço, etc..
Igualmente se derivam todas as leis de conservação relativísticas, e que a existência de campos gravitacionais e de massa só são possíveis quando o espaço tem dimensão maior que 2. Mais ainda, se supõe que o espaço tem dimensão 4 (as três que vemos habitualmente mais uma pequeníssima dimensão circular extra, aproximadamente do tamanho do chamado comprimento de Planck ~ cm) da equação de Einstein se deduzem a teoria clássica do electromagnetismo: as equações de Maxwell e, portanto, a lei de Coulomb, a Conservação da carga elétrica e a lei de Lorentz.
Equações de Einstein-Maxwell
[editar | editar código-fonte]Esta seção não cita fontes confiáveis. (Abril de 2024) |
Se o tensor energia-momento é aquele de um campo eletromagnético, i.e. se o tensor momento-energia eletromagnético
é usado, então as equações de campo de Einstein são chamadas equações Einstein-Maxwell:
Referências
- ↑ It’s official: You’re lost in a directionless universe por Adrian Cho, publicado pela Associação Americana para o Avanço da Ciência (2016)
Ligações externas
[editar | editar código-fonte]Ver também
[editar | editar código-fonte]