Zbieżność według miary

Zbieżność ciągu funkcji według (pewnej) miary to rodzaj zbieżności ciągów funkcyjnych rozważany w teorii miary i analizie matematycznej. Aby ocenić, czy dany ciąg funkcyjny $f_{n}$ zbiega do danej funkcji granicznej $f$ , mierzy się wielkości zbioru punktów dziedziny ciągu funkcyjnego, dla których ciąg funkcyjny nie zbiega do funkcji granicznej, przy czym: a). jeżeli zbiór ten ma miarą zerową, to uznaje się, że ciąg funkcyjny jest zbieżny do funkcji granicznej (sytuacja taka może zachodzić np. dla funkcji, które są rozbieżne jedynie w punktach izolowanych) b). gdy zaś zbiór ten ma miarę niezerową, to uznaje się, że ciąg funkcyjny nie jest zbieżny do funkcji granicznej (zbieżność jest niewystarczająca). W pomiarze istotne jest przyjęcie konkretnej miary, zależnie od rozpatrywanego zagadnienia.

Pojęcie pojawiło się w sferze zainteresowań matematyków z początkiem XX wieku. W teorii prawdopodobieństwa i statystyce ten rodzaj zbieżności nazywany jest zbieżnością według prawdopodobieństwa lub zbieżnością stochastyczną.

Definicja

Zbieżność według miary

Niech $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )$ będzie przestrzenią z miarą $\mu$ określoną na podzbiorach $A$ zbioru $\Omega$ (tj. zakłada się, że podzbiory te należą do tzw. σ-ciała ${\mathcal {F}}$ zbioru $\Omega$ , co gwarantuje spójne przyporządkowanie miary tym podzbiorom, np. długości, pola powierzchni, objętości, prawdopodobieństwa, itd.).

Mówi się, że ciąg funkcji prawie wszędzie skończonych $f_{n}\colon A\to {\overline {\mathbb {R} }},\,n\in \mathbb {N}$ jest zbieżny według miary $\mu$ do funkcji $f\colon A\to {\overline {\mathbb {R} }},$ gdy:

\bigwedge \limits _{\varepsilon >0}\ \lim _{n\to \infty }\,\mu {\big (}\,\{x\in A\colon \,|f_{n}(x)-f(x)|\geqslant \varepsilon \,\}\,{\big )}=0

tj.: zbieżność ta zachodzi, gdy w granicy $n\to +\infty$ zerowa jest miara zbioru tych punktów $x$ dziedziny $A$ ciągu funkcyjnego, dla których $|f_{n}(x)-f(x)|\geq \varepsilon$ . Oznacza to, że jedynie w izolowanych punktach granica ciągu funkcji może nie być zgodna z funkcją graniczną $f$ (np. gdy istnieją punkty, gdzie funkcje ciągu mają nieciągłości lub w których są rozbieżne do nieskończoności)

W teoria prawdopodobieństwa

Niech $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ będzie przestrzenią probabilistyczną.

Przypadek jednowymiarowy

Niech $X,X_{1},X_{2},...:\Omega \to \mathbb {R}$ będą zmiennymi losowymi.

Ciąg zmiennych losowych $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest zbieżny według prawdopodobieństwa (lub zbieżny stochastycznie) do zmiennej $X,$ jeżeli

\bigwedge \limits _{\varepsilon >0}\ \lim \limits _{n\to \infty }P\left(\{\omega \in \Omega :|X_{n}(\omega )-X(\omega )|<\varepsilon \}\right)=1.

tj.: zbieżność ta zachodzi, gdy w granicy $n\to +\infty$ jednością jest miara zbioru tych punktów $\omega$ dziedziny $\Omega$ ciągu zmiennych losowych, dla których $|X_{n}(x)-X(x)|<\varepsilon$ . Oznacza to, że jedynie w punktach izolowanych granica ciągu zmiennych losowych nie jest zgodna ze zmienną graniczną $X$ .

Ciąg zmiennych losowych $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ nazywamy stochastycznie zbieżnym do stałej $c,$ jeżeli

\bigwedge \limits _{\varepsilon >0}\ \lim \limits _{n\to \infty }P\left(\{\omega \in \Omega :|X_{n}(\omega )-c|<\varepsilon \}\right)=1.

Przypadek wielowymiarowy

Niech $X,X_{1},X_{2},...:\Omega \to \mathbb {R} ^{s}$ będą wektorami losowymi. Ciąg wektorów losowych $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest zbieżny według prawdopodobieństwa (lub zbieżny stochastycznie) do wektora $X,$ jeżeli

\bigwedge \limits _{\varepsilon >0}\ \lim \limits _{n\to \infty }P\left(\{\omega \in \Omega :\|X_{n}(\omega )-X(\omega )\|<\varepsilon \}\right)=1,

gdzie $\|{\cdot }\|:\mathbb {R} ^{s}\to [0,\infty )$ oznacza normę euklidesową w $\mathbb {R} ^{s}.$

Uwagi

Terminy zbieżność według miary, zbieżność stochastyczna i zbieżność według prawdopodobieństwa są w statystyce i rachunku prawdopodobieństwa stosowane zamiennie.
Stochastyczna zbieżność ciągu zmiennych losowych $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ do stałej $c$ oznacza, że przy $n\to \infty$ gęstość prawdopodobieństwa koncentruje się wokół wartości $c,$ tzn. rozkład jednopunktowy jest rozkładem granicznym ciągu $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }.$
Zdanie: „ciąg $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest zbieżny według miary $\mu$ do funkcji $f$ ”, używając symboliki matematycznej zapisuje się krótko: $f_{n}{\xrightarrow {\mu }}f$