Wikipedysta:Piotr mil/brudnopis/hi

Pojęcie nierówność Hilberta w analizie matematycznej odnosi się do dwóch nierówności, wykazanych na początku XX wieku przez Davida Hilberta.

Niech dane będą dwa ciągi liczb rzeczywistych $\scriptstyle \{a_{n}\}$ i $\scriptstyle \{b_{n}\}$. Wtedy, zachodzi

$\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{m}b_{n}}{m+n}}\leq \pi \left(\sum _{m=1}^{\infty }a_{m}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}.$

(1INF)

Nierówność (1INF) została udowodniona przez Hilberta na początku XX wieku , oraz opublikowana później przez Weyla  ze stałą $\scriptstyle 2\pi$.

Kilka lat później mniejsze, optymalne  oszacowanie $\scriptstyle C=\pi$ zostało znalezione przez Issaiego Schura . Nierówność (1INF) jest ostra, chyba, że któryś z ciągów $\scriptstyle \{a_{n}\}$ lub $\scriptstyle \{b_{n}\}$ jest tożsamościowo równy zero .

W 1925 roku G.Hardy i M.Riesz podali uogólnioną nierówność (1) dla ciągów nieujemnych liczb rzeczywistych  :

$\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{m}b_{n}}{m+n}}<{\frac {\pi }{\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)}}\left(\sum _{m=1}^{\infty }a_{m}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}^{q}\right)^{\frac {1}{q}}$

(1INFPlus)

gdzie liczby $\scriptstyle p,q$ spełniają zależność

${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$.

Łatwo zauważyć, że dla $\scriptstyle p=q=2$ nierówność (1INFplus) staje się nierównością (1INF)

Specjalne przypadki i Uogólnienia

Nierówność (1INF) rozważać można w przypadku skończonym, tj. dla rzeczywistych $\scriptstyle a_{1},\dots ,a_{k}$ oraz $\scriptstyle b_{1},\dots ,b_{l}$. Wtedy nierówność przyjmuje postać

$\sum _{m=1}^{k}\sum _{n=1}^{l}{\frac {a_{m}b_{n}}{m+n}}\leq \pi \left(\sum _{m=1}^{k}a_{m}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}\left(\sum _{n=1}^{l}b_{n}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}.$

(2N)

Gdy rozważane zbiory liczb są sobie równe, tj. gdy $k=l$ i $\scriptstyle a_{m}=b_{m}$ otrzymujemy nierówność

$\sum _{m=1}^{k}{\frac {a_{m}a_{n}}{m+n}}\leq \pi \sum _{m=1}^{k}a_{m}^{2}.$

(3N)

Wszystkie powyższe nierówności da się przedstawić w ogólnej postaci. Jeśli $\scriptstyle \{a_{n}\}$ i $\scriptstyle \{b_{n}\}$ są ciągami liczb rzeczywistych, a $\scriptstyle \{c_{n}\}$ i $\scriptstyle \{d_{n}\}$ ciągami liczb rzeczywistych, dla których zachodzi $\scriptstyle |c_{i}-c_{j}|\geq 1$, $\scriptstyle |d_{i}-d_{j}|\geq 1$ dla $i\neq j$, to nierówność Hilberta przyjmuje postać

$\left|\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{m}b_{n}}{c_{m}+d_{n}}}\right|\leq \pi \left(\sum _{m=1}^{\infty }a_{m}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}.$

(1NINF)

Jeśli w nierówności tej wybierzemy $c_{m}=m$ oraz $d_{n}=n$, to otrzymamy nierówność (1INF). Podobnie, w przypadku skończonym

$\left|\sum _{m=1}^{k}\sum _{n=1}^{l}{\frac {a_{m}b_{n}}{c_{m}+d_{n}}}\right|\leq \pi \left(\sum _{m=1}^{k}a_{m}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}\left(\sum _{n=1}^{l}b_{n}^{2}\right)^{\frac {1}{2}},$

(1N)

która staje się nierównością (2N) dla $c_{m}=m$ oraz $d_{n}=n$. Ponadto, dla $c_{m}=m$ oraz $d_{n}=n$

stare:

Niech dane będą dwa ciągi liczb rzeczywistych  $\scriptstyle \{a_{n}\}$ i $\scriptstyle \{b_{n}\}$ oraz ciągi liczb zespolonych $\scriptstyle \{x_{n}\}$ i $\scriptstyle \{y_{n}\}$, które są "sumowalne z kwadratem", tzn.:

$\sum _{m=1}^{\infty }a_{m}^{2}<\infty ,\,\sum _{m=1}^{\infty },\,b_{m}^{2}<\infty \,\sum _{m=1}^{\infty }|x_{m}|^{2}<\infty$ oraz $\sum _{m=1}^{\infty }|y_{m}|^{2}<\infty$.

Wtedy zachodzą następujące nierówności:

$\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{m}b_{n}}{m+n}}<C\left(\sum _{m=1}^{\infty }a_{m}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}$

(1)

$\left|\sum _{m,n \atop m\neq n}{\frac {x_{m}{\overline {y_{n}}}}{m-n}}\right|<C\left(\sum _{m}|x_{m}|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}\left(\sum _{n}|y_{n}|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}$

(2)

ze stałą $\scriptstyle C=2\pi$. Kilka lat później mniejsze, optymalne  oszacowanie $\scriptstyle C=\pi$ zostało znalezione przez Issaiego Schura . W 1925 roku G.Hardy i M.Riesz podali uogólnioną nierówność (1) dla ciągów nieujemnych liczb rzeczywistych  :

$\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{m}b_{n}}{m+n}}<{\frac {\pi }{\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)}}\left(\sum _{m=1}^{\infty }a_{m}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}^{q}\right)^{\frac {1}{q}}$

gdzie

$p>1$, a $q={\frac {p}{p-1}}$.

Dalsze wyniki

Szczególnymi przypadkami powyższych nierówności są takie, w których oba rozważane ciągi są sobie równe, a także, kiedy zamiast ciągu rozważamy skończony zbiór liczb . Nierówności przyjmują wtedy postaci  :

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {a_{i}a_{j}}{i+j}}<\pi \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}$

$\left|\sum _{m,n \atop m\neq n}{\frac {x_{m}{\overline {x_{n}}}}{m-n}}\right|<\pi \sum _{m}|x_{m}|^{2}$

W 1973, Montgomery & Vaughan  dowiedli kilku uogólnień nierówności (2) rozważając formy dwuliniowe:

$\sum _{r\neq s}{\frac {u_{r}{\overline {u}}_{s}}{\sin \left(\pi (x_{r}-x_{s})\right)}}$

oraz

$\sum _{r\neq s}{\dfrac {u_{r}{\overline {u}}_{s}}{\lambda _{r}-\lambda _{s}}},$

gdzie $\scriptstyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}$ są różnymi liczbami rzeczywistymi modulo 1, tzn. należą do różnych klas w grupie ilorazowej $\scriptstyle \mathbb {R} /\mathbb {Z}$ a $\scriptstyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{m}$ są różnymi liczbami rzeczywistymi. Uogólnienia nierówności Hilberta przyjmują wtedy postaci:

$\left|\sum _{r\neq s}{\frac {u_{r}{\overline {u_{s}}}}{\sin \left(\pi (x_{r}-x_{s})\right)}}\right|\leq \delta ^{-1}\sum _{r}|u_{r}|^{2}.$

oraz

$\left|\sum _{r\neq s}{\dfrac {u_{r}{\overline {u_{s}}}}{\lambda _{r}-\lambda _{s}}}\right|\leq \pi \tau ^{-1}\sum _{r}|u_{r}|^{2}.$

gdzie

$\delta ={\min _{r,s}}{}_{+}\|x_{r}-x_{s}\|,\quad \tau =\min _{r,s}{}_{+}\|\lambda _{r}-\lambda _{s}\|,\,$

W powyższych wzorach

$\|x\|=\min _{m\in \mathbb {Z} }|x-m|$

oznacza odległość od $\scriptstyle x$ do najbliższej liczby całkowitej, a $\scriptstyle \min _{+}$ oznacza najmniejszą dodatnią wartość.

Co więcej, jeżeli

$0<\delta _{r}\leq {\min _{s}}{}_{+}\|x_{r}-x_{s}\|\quad {\text{i}}\quad 0<\tau _{r}\leq {\min _{s}}{}_{+}\|\lambda _{r}-\lambda _{s}\|,\,$

wtedy zachodzą następujące nierówności:

$\left|\sum _{r\neq s}{\frac {u_{r}{\overline {u_{s}}}}{\sin \left(\pi (x_{r}-x_{s})\right)}}\right|\leq {\dfrac {3}{2}}\sum _{r}|u_{r}|^{2}\delta _{r}^{-1}.$

oraz

$\left|\sum _{r\neq s}{\dfrac {u_{r}{\overline {u_{s}}}}{\lambda _{r}-\lambda _{s}}}\right|\leq {\dfrac {3}{2}}\pi \sum _{r}|u_{r}|^{2}\tau _{r}^{-1}.$

Linki zewnętrzne

• E.K. Godunova: Hilbert inequality. [w:] Encyclopedia of Mathematics [on-line]. [dostęp 2013-02-21].
• Eric Weisstein: "Hilbert's Inequality." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. [dostęp 2013-02-23].

Bibliografia

• Hermann Weyl: Singuläre lntegralgleichungen mit besonderer Berücksichtigung des Fourierschen Integraltheorems, Inaugural-Dissertation. 1908.{{Cytuj książkę}} Nieznane pola: 1. Brak numerów stron w książce
• Hilbert’s Inequality and Compensating Difficulties. W: Michael Steele: The Cauchy-Schwarz master class: an introduction to the art of mathematical inequalities.. Cambridge University Press, 2004. ISBN 0-521-54677-X. Brak numerów stron w książce
• Hugh Montgomery: Ten Lectures on the Interface Between Analytic Number Theory and Harmonic Analysis. AMS, 1994. Brak numerów stron w książce
• Krzysztof Oleszkiewicz. An Elementary Proof of Hilbert's Inequality. „The American Mathematical Monthly”. 100 (3), Marzec 2008. (ang.). {{Cytuj pismo}} Nieznane pola: "dzień".brak numeru strony
• Krzysztof Oleszkiewicz. Dookoła nierówności Hilberta. „Delta”, Listopad 2005. brak numeru strony
• Lev Kourliandtchik: Powrót do krainy nierówności. Toruń: Aksjomat, 2004, s. 216.
• Godfrey Harold Hardy, John Edensor Littlewood, George Pólya: Inequalities. 1952. Brak numerów stron w książce
• Hugh Montgomery, Robert Charles Vaughan: Hilbert's inequality. J. London Math. Soc., 1974, s. 73–82. ISSN 0024-6107.