Warunek brzegowy Dirichleta
Warunek brzegowy Dirichleta – typ warunku brzegowego, znany także jako warunek pierwszego rodzaju, używanym w teorii równań różniczkowych zwyczajnych lub cząstkowych. Polega on na założeniu, że funkcja będąca rozwiązaniem danego problemu musi przyjmować określone, z góry zadane wartości na brzegu dziedziny. Nazwa pochodzi od matematyka P. Dirichleta (1805–1859)[1].
Jeżeli dla równania różniczkowego (zwyczajnego lub cząstkowego) stawiamy warunek brzegowy Dirichleta (na całym brzegu), to mówimy o zagadnieniu (problemie) Dirichleta.
Przykłady
[edytuj | edytuj kod]Równania różniczkowe zwyczajne
[edytuj | edytuj kod]Dla równania różniczkowego zwyczajnego II rzędu:
gdzie niewiadoma funkcja jest określona na dziedzinie (formalnie: ), warunek brzegowy Dirichleta ma postać
gdzie oraz są danymi liczbami.
Równania różniczkowe cząstkowe
[edytuj | edytuj kod]Typowym przykładem jest zagadnienie Dirichleta dla równania Laplace’a. Dany jest obszar Szukamy rozwiązania które jest ciągłe w domknięciu klasy w spełnia równanie
gdzie oznacza operator Laplace’a (laplasjan) oraz warunek brzegowy
gdzie jest daną funkcją określoną na brzegu,
Zazwyczaj obie relacje (równanie i warunek brzegowy) zapisuje się w standardowej notacji matematycznej w jednym miejscu, często dodając klamry, aby podkreślić, że obie zależności muszą być spełnione[2]:
Zastosowania
[edytuj | edytuj kod]Warunki brzegowe pełnią ważną rolę w opisie zjawisk fizycznych. Wybór warunków zależy od sposobu prowadzenia doświadczenia i kontroli jego parametrów.
- Na przykład przy opisie zjawisk rozchodzenie się „ciepła” (ściślej należałoby mówić o transporcie energii wewnętrznej) przyjęcie warunku brzegowego Dirichleta oznacza, że kontrolujemy temperaturę na brzegu obiektu (jest on w kontakcie z rezerwuarem „ciepła” na tyle dużym, że jego temperatura jest stała, a brzeg na tyle dobrze przewodzi, że na nim jest ta sama temperatura).
- W elektrostatyce, gdzie często szukaną funkcją jest potencjał elektryczny warunek Dirichleta oznacza taką sytuację doświadczalną, w której potencjały są zadane (np. na powierzchni przewodnika)[3].
- W teorii sprężystości warunek Dirichleta oznacza jakie jest przemieszczenie na brzegu. Na przykład belka zamocowana na brzegu będzie miała ustaloną pozycję dla punktów brzegowych.
- W mechanice płynów często przyjmuje się, że na brzegu cząsteczki cieczy się nie poruszają (warunek no-slip). Dla cieczy lepkiej podczas przepływu, na powierzchni ciała stałego płyn ma zerową prędkość względem tego brzegu,
Inne warunki brzegowe
[edytuj | edytuj kod]Możliwe są inne warunki na brzegu, na przykład warunek brzegowy Cauche'ego (jest to raczej warunek początkowy, ale z punktu widzenia ogólnej teorii warunków brzegowych rozróżnienie na warunki początkowe i brzegowe jest tylko wygodną konwencją. Warunki początkowe są specjalnymi warunkami brzegowymi, ale w zagadnieniach, w których występuje czas) czy warunek brzegowy Neumanna.
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Alexander H.-D. Cheng , Daisy T. Cheng , Heritage and early history of the boundary element method, „Engineering Analysis with Boundary Elements”, 29 (3), 2005, s. 268–302, DOI: 10.1016/j.enganabound.2004.12.001 [dostęp 2023-09-05] (ang.).
- ↑ Paweł Strzelecki, Krótkie wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych, Wydawnictwo Uniwersytetu Warszawskiego, 2006, s. 42, ISBN 978-83-235-0227-2 .
- ↑ Rozdział 3, [w:] David J. Griffiths , Podstawy elektrodynamiki, wyd. 2, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005, ISBN 978-83-01-14375-6 .