Warunek brzegowy Dirichleta

Warunek brzegowy Dirichleta – typ warunku brzegowego, znany także jako warunek pierwszego rodzaju, używanym w teorii równań różniczkowych zwyczajnych lub cząstkowych. Polega on na założeniu, że funkcja będąca rozwiązaniem danego problemu musi przyjmować określone, z góry zadane wartości na brzegu dziedziny. Nazwa pochodzi od matematyka P. Dirichleta (1805–1859).

Jeżeli dla równania różniczkowego (zwyczajnego lub cząstkowego) stawiamy warunek brzegowy Dirichleta (na całym brzegu), to mówimy o zagadnieniu (problemie) Dirichleta.

Przykłady

Równania różniczkowe zwyczajne

Dla równania różniczkowego zwyczajnego II rzędu:

$y''=f(x,y,y'),$

gdzie niewiadoma funkcja $y(x)$ jest określona na dziedzinie $[a,\,b],$ (formalnie: $y\in C^{2}([a,\,b])$), warunek brzegowy Dirichleta ma postać

$y(a)=y_{a},\ y(b)=y_{b},$

gdzie $y_{a}$ oraz $y_{b}$ są danymi liczbami.

Równania różniczkowe cząstkowe

Typowym przykładem jest zagadnienie Dirichleta dla równania Laplace’a. Dany jest obszar $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}.$ Szukamy rozwiązania $u:{\bar {\Omega }}\to \mathbb {R} ,$ które jest ciągłe w domknięciu ${\bar {\Omega }},$ klasy $C^{2}$ w $\Omega ,$ spełnia równanie

$\Delta u=0,$

gdzie $\Delta$ oznacza operator Laplace’a (laplasjan) oraz warunek brzegowy

$u(x)=f(x)\quad \forall x\in \partial \Omega ,$

gdzie $f$ jest daną funkcją określoną na brzegu, $f:\partial \Omega \to \mathbb {R} .$

Zazwyczaj obie relacje (równanie i warunek brzegowy) zapisuje się w standardowej notacji matematycznej w jednym miejscu, często dodając klamry, aby podkreślić, że obie zależności muszą być spełnione:

${\begin{cases}\Delta u=0&\quad {\text{na}}\;\Omega ,\\u=f&\quad {\text{w}}\;\partial \Omega .\end{cases}}$

Zastosowania

Warunki brzegowe pełnią ważną rolę w opisie zjawisk fizycznych. Wybór warunków zależy od sposobu prowadzenia doświadczenia i kontroli jego parametrów.

• Na przykład przy opisie zjawisk rozchodzenie się „ciepła” (ściślej należałoby mówić o transporcie energii wewnętrznej) przyjęcie warunku brzegowego Dirichleta oznacza, że kontrolujemy temperaturę na brzegu obiektu (jest on w kontakcie z rezerwuarem „ciepła” na tyle dużym, że jego temperatura jest stała, a brzeg na tyle dobrze przewodzi, że na nim jest ta sama temperatura).
• W elektrostatyce, gdzie często szukaną funkcją jest potencjał elektryczny $\phi ,$ warunek Dirichleta oznacza taką sytuację doświadczalną, w której potencjały są zadane (np. na powierzchni przewodnika).
• W teorii sprężystości warunek Dirichleta oznacza jakie jest przemieszczenie na brzegu. Na przykład belka zamocowana na brzegu będzie miała ustaloną pozycję dla punktów brzegowych.
• W mechanice płynów często przyjmuje się, że na brzegu cząsteczki cieczy się nie poruszają (warunek no-slip). Dla cieczy lepkiej podczas przepływu, na powierzchni ciała stałego płyn ma zerową prędkość względem tego brzegu, $v_{\partial \Omega }=0.$

Inne warunki brzegowe

Możliwe są inne warunki na brzegu, na przykład warunek brzegowy Cauche'ego (jest to raczej warunek początkowy, ale z punktu widzenia ogólnej teorii warunków brzegowych rozróżnienie na warunki początkowe i brzegowe jest tylko wygodną konwencją. Warunki początkowe są specjalnymi warunkami brzegowymi, ale w zagadnieniach, w których występuje czas) czy warunek brzegowy Neumanna.