Radykał ideału

Radykał – w pierścieniu przemiennym $R,$ radykał ideału $I$ (oznaczany przez ${\sqrt {I}}$ ^[1]) to zbiór wszystkich elementów pierścienia, których pewna potęga leży w ideale $I{:}$

{\sqrt {I}}=\left\{a\in R:\exists {n>0}:a^{n}\in I\right\}

^[1].

Dowodzi się, że radykał ideału $I$ również jest ideałem, $I\subseteq {\sqrt {I}}$ oraz gdy ideał $I$ jest pierwszy, to $I={\sqrt {I}}.$ Implikacja w drugą stronę jednak nie zachodzi: równość $I={\sqrt {I}}$ nie implikuje pierwszości ideału $I,$ jako kontrprzykład można wziąć np. ideał generowany przez $xy$ w pierścieniu wielomianów dwóch zmiennych nad ciałem liczb wymiernych $\mathbb {Q} [x,y].$ W związku z tym, ideały spełniające $I={\sqrt {I}}$ nazywamy ideałami radykalnymi.

Radykał ideału $I$ jest równy przecięciu wszystkich ideałów pierwszych zawierających $I.$

Ideały radykalne odgrywają dużą rolę w klasycznej geometrii algebraicznej, ze względu na wyrażaną poprzez twierdzenie Hilberta o zerach odpowiedniość ideałów radykalnych w pierścieniach wielomianów nad ciałami algebraicznie domkniętymi, a rozmaitościami algebraicznymi nad tymi ciałami.

Przypisy

↑ ^a ^b Affine Varieties Definition 1.5.

Bibliografia

Miles Reid: Undergraduate Commutative Algebra. New York: Cambridge University Press, 1995. ISBN 0-521-45889-7.

[def-1] Affine Varieties Definition 1.5.

[1]