Kompleks symplicjalny

Kompleks symplicjalny wymiaru 3

Zbiór sympleksów ${\mathcal {K}}$ w $\mathbb {R} ^{n}$ nazywamy kompleksem symplicjalnym (geometrycznym w odróżnieniu od abstrakcyjnego kompleksu symplicjalnego), jeśli spełnione są następujące warunki:

1. Dowolna ściana sympleksu należącego do ${\mathcal {K}}$ jest również elementem ${\mathcal {K}}.$

2. Przekrój dowolnych dwóch sympleksów $\sigma _{1},\sigma _{2}\in {\mathcal {K}}$ jest zbiorem pustym lub ich wspólną ścianą.

Wymiar kompleksu symplicjalnego

Jeżeli kompleks ${\mathcal {K}}$ zawiera sympleks wymiaru $n,$ lecz nie zawiera sympleksu wymiaru większego, to liczbę $n$ nazywamy wymiarem kompleksu ${\mathcal {K}}$ co oznaczamy $\dim {\mathcal {K}}=n.$ Natomiast gdy dla każdego $n\in \mathbb {N}$ kompleks ${\mathcal {K}}$ zawiera sympleks wymiaru większego niż $n,$ to mówimy, że ma wymiar nieskończony co oznaczamy $\dim {\mathcal {K}}=+\infty .$

Izomorfizm kompleksów symplicjalnych

Kompleksy symplicjalne ${\mathcal {K}},{\mathcal {L}}$ nazywamy izomorficznymi jeżeli istnieje odwzorowanie symplicjalne $f\colon {\mathcal {K}}\to {\mathcal {L}}$ będące izomorifzmem.

Realizacja geometryczna kompleksu symplicjalnego

Każdy kompleks symplicjalny składa się ze zbioru sympleksów i wszystkie są podzbiorami pewnego ustalonego $\mathbb {R} ^{n}.$ Podzbiór $\mathbb {R} ^{n}$ złożony z punktów sympleksów ${\mathcal {K}}$ nazywamy jego nośnikiem i oznaczamy $|{\mathcal {K}}|.$ Zbiór $|{\mathcal {K}}|$ w sposób naturalny dziedziczy topologię z $\mathbb {R} ^{n}.$ Jednak prowadzi to do sytuacji, w której dla izomorficznych kompleksów ich nośniki z tymi topologiami mogą nie być homeomorficzne jako przestrzenie topologiczne. Jest to zależne od tego, w jaki sposób zbiory te są położone w $\mathbb {R} ^{n}.$ Z tego względu zbiór $|{\mathcal {K}}|$ wyposaża się w topologię (zwaną słabą), w której bazę stanowią zbiory $U\subseteq |{\mathcal {K}}|,$ których przekrój z każdym sympleksem $\sigma \in {\mathcal {K}}$ jest zbiorem otwartym w tym sympleksie. Zbiór $|{\mathcal {K}}|$ wraz z topologią słabą nazywamy realizacją geometryczną kompleksu ${\mathcal {K}}$.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Simplicial Complex, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2023-01-20]  (ang.).
• Simplicial complex (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].
• Simplicial Complexes – Your Brain as Math Part 2, kanał PBS Infinite Series na YouTube, 24 sierpnia 2017 [dostęp 2024-08-29].