Dyskusja:Funkcja pusta

Z tego co wiem nie ma takiego czegoś jak funkcja pusta. Nawet jeżeli jest to nie jest funkcją, gdyż formalna definicja wymaga niepustej dziedziny. googl 16:48, 9 gru 2005 (CET)

Jednak istnieje. Jest w wielu miejscach na internecie w kontekście matematyki. Olaf _D 22:31, 17 lut 2007 (CET)

Tutaj: [1] tutaj: [2] i tutaj: en:Domain (mathematics) nie ma nic o wymogu niepustej dziedziny. Olaf _D 22:37, 17 lut 2007 (CET)

OK. googl d 22:43, 17 lut 2007 (CET)

Ale jest inny problem: Jeśli ta funkcja nic nie zwraca (a nie może zwracać, bo ma zbiór pusty jako przeciwobraz), to jakim cudem "Funkcja c może być uważana za stałą ze zbioru X," Olaf _D 22:31, 17 lut 2007 (CET)

Hm. Dosyć dziwne, funkcję stałą można traktować jako stałą i jakoś utożsamiać ją ze zwracanym obiektem (mniej więcej tak jak przy działaniach zeroargumentowych). Ale nie można tego zrobić z funkcją pustą. Funkcja pusta to formalnie zbiór pusty. Usuwam. googl d 22:43, 17 lut 2007 (CET)

Wydaje mi się, że en:Empty function może być źródłem co do stałości funkcji pustej. googl d 22:47, 17 lut 2007 (CET)

Przeniesione ze Zgłoś błąd

Funkcja pusta i Zbiór pusty

Zgodnie z definicją z artykułu funkcja, każda funkcja $f:\emptyset \to A$ jest podzbiorem produktu kartezjańskiego $\emptyset \times A$, który jest pusty. Zatem każda funkcja pusta $f$ spełnia $f=\emptyset$.

Z tego wynika, że termin funkcja pusta jest synonimem terminu zbiór pusty. Postuluję więc, w duchu maksymy "Nie należy mnożyć bytów ponad potrzebę" (uważanej za sformułowanie Brzytwy Ockhama), żeby zunifikować hasła zbiór pusty i funkcja pusta, pozostawiając wszakże przekierowanie. Aktualny stan powoduje u niezorientowanych czytelników wrażenie, że oba te obiekty są różne, a to nieprawda.

Zgłasza: Gżdacz (dyskusja) 09:50, 2 sty 2012 (CET)

Nie takie to proste – funkcja nie wyznacza swojej przeciwdziedziny (zob. definicja), więc dla każdego zbioru $A$ istnieje funkcja pusta $f_{A}:\emptyset \to A$ (zob. en:empty function). Rozróżnienie jest istotne np. w kategorii Set, w której $f_{A}:\emptyset \to A$ jest morfizmem z obiektu $\emptyset$ do obiektu $A$. Papageno (Pisz do mnie tu) 12:04, 2 sty 2012 (CET)

Nie rozumiem tego matematycznego slangu ale rozumiem że błędu nie ma więc wstawiam Załatwione Marek Mazurkiewicz (dyskusja) 12:07, 2 sty 2012 (CET)

Mz. nie ma błędu zgłoszonego, choć właściwie powinno się art. dopracować. Papageno (Pisz do mnie tu) 13:44, 2 sty 2012 (CET)

Nie zgadzam się z Papageno Niezałatwione. Jego odpowiedź znaczy mniej więcej tyle: gdyby w artykule o funkcji pustej była inna definicja (kategoryjna w miejsce teoriomnogościowej), to oba pojęcia byłyby różne (właśnie dlatego cytuje enwiki zamiast plwiki). Ale definicja w plwiki jest jest taka, jaka jest, więc na razie te pojęcia są tożsame. Gżdacz (dyskusja) 14:15, 2 sty 2012 (CET)

To nie jest kwestia definicji funkcji pustej, tylko definicji funkcji. Niestety nie jest to dobrze napisane w art. funkcja, ale w sekcji "Definicja" zostało mniej więcej zasygnalizowane. Funkcja nie jest oderwanym od dziedziny i przeciwdziedziny zbiorem par uporządkowanych, tylko podzbiorem iloczynu kartezjańskiego dziedziny i przeciwdziedziny. Ten zbiór par uporządkowanych (utożsamiany nie do końca precyzyjnie z funkcją) wyznacza dziedzinę (to wynika z definicji funkcji), ale przeciwdziedziny nie. Dlatego funkcje określone przez identyczne zbiory par uporządkowanych są różne, jeśli ich przeciwdziedziny są różne. Tak jest nie tylko dla funkcji pustej, tak jest dla wszystkich funkcji. Weźmy $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,f(x)=x^{2}$ i $g:\mathbb {R} \rightarrow [0,\;\infty ),g(x)=x^{2}.\,$ Zbiory par uporządkowanych określające funkcje $f\,$ i $g\,$ są tożsame, ale $f\,$ i $g\,$ są różnymi funkcjami, mają przecież różne własności: $f\,$ nie jest funkcją "na", a $g\,$ jest! Podobnie jest z funkcją pustą, a właściwie funkcjami pustymi (bo jest ich tyle ile zbiorów będących ich przeciwdziedzinami) - każda ma inną przeciwdziedzinę, więc każda jest czym innym i nie można ich wszystkich utożsamić ze zbiorem pustym. Enwiki cytowałem, bo tam jest funkcja pusta opisana z pewnym detalem: wskazuje się, że zależy ona od przeciwdziedziny, co sygnalizuje, że są różne funkcje puste. Kategoryjne podejście nie ma tu znaczenia, wskazałem na nie, bo w kategorii Set dokładnie widać, że funkcje puste różnią się między sobą przeciwdziedzinami i są różnymi morfizmami tej kategorii, ale kategoria Set nie definiuje funkcji jakoś inaczej niż "zwyczajnie". Proponuję skreślić dla bota "niezałatwione", a ewentualne dalsze dyskusje prowadzić już nie tu :) Papageno (Pisz do mnie tu) 23:30, 2 sty 2012 (CET)

Rozstrzygnijmy sprawę jak wikipedyści: źródłami.

Poradnik matematyczny część I (wyd. III), PWN 1982, pod red. Dziubińskiego i Świątkowskiego, str. 37-39: Funkcja to po prostu zbiór par (bez wskazania przeciwdziedziny), zaś trójka $(A,f,B)$ w której $f:A\to B$ ze wskazaniem dziedziny i przeciwdziedziny to odwzorowanie.

Ross, Wright, Matematyka Dyskretna, PWN 1996, str. 39: "Należy zauważyć, że niczego nie tracimy przyjmując, że funkcje i wykresy są tym samym".

A jeśli chodzi o kategorię Set, to oczywiście nic nie stoi na przeszkodzie, żeby ta sama funkcja była morfizmem między różnymi obiektami. Podobnie $\{\langle x,x\rangle |x\in \mathbb {R} \}$ jest funkcją, która jest morfizmem (a nawet izomorfizmem) w kategoriach zbiorów, grup, pierścieni, ciał, przestrzeni liniowych nad $\mathbb {Q}$ oraz przestrzeni liniowych nad $\mathbb {R}$. To uniwersalna zasada, że ten sam zbiór może w różnych kontekstach pełnić różne role.

Gżdacz (dyskusja) 09:18, 3 sty 2012 (CET)

Mniej więcej zgadza się, tylko – jak zwykle – diabeł tkwi w szczegółach, a dokładniej, jak napisałeś, w różnych kontekstach. Otóż nie można (zachowując możliwość sensownego definiowania własności funkcji) oderwać zbioru par (wykresu) od kontekstu – zbioru $X\times Y$, w którym on siedzi.

Kwestie nazewnicze i próbę rozróżnienia (funkcja a odwzorowanie) zostawiłbym na boku, inaczej będziemy musieli przyjąć, że odwzorowanie może być np. suriektywne, a dla funkcji takie pojęcie nie ma sensu. Mamy redir z odwzorowanie do funkcja i trzymajmy się tego. Funkcja to relacja 2-argumentowa spełniająca pewien warunek, relacja to podzbiór iloczynu kartezjańskiego. Trzeba wiedzieć jakiego, bo od tego zależą własności relacji. Można znaleźć źródła rozróżniające funkcje od odwzorowań i nierozróżniające, źródłami się tego nie załatwi bo to tylko nazwy.

Należałoby też zwrócić uwagę na ryzyko związane z zapominaniem o dziedzinie i przeciwdziedzinie przy definiowaniu relacji i funkcji. W definicjach występują $\forall _{x\in X}\;\exists _{y\in Y}$ oraz $\forall _{x\in X}\;\forall _{y\in Y}\;\forall _{z\in Y}$, a zapominanie o X i Y oznacza sięgnięcie do naiwnej teorii mnogości ze wszystkimi tego konsekwencjami.

Pytanie: czy funkcje f i g określone powyżej są tym samym? g jest suriekcją, a f nie jest, więc nie są. A różnią się nie zbiorem par uporządkowanych, tylko przeciwdziedziną.

Pytanie: czy włożenie właściwego podzbioru A w zbiór X jest tym samym, co identyczność na A? Nie, rozróżnienie tych obiektów jest istotne. $Id_{A}$ jest teoriomnogościowym izomorfizmem, a $I_{A\rightarrow X}$ nie.

Wracając do funkcji pustej: ta mało interesująca klasa funkcji pojawia się w sposób naturalny w przywołanej teorii kategorii. W Set mamy obiekt początkowy $\emptyset$ wraz z jedynymi morfizmami – funkcjami pustymi $f_{A}\in Mor(\emptyset ,A)\,$ dla dowolnego obiektu A. Te morfizmy są różne dla różnych A po prostu dlatego, że $Mor(\emptyset ,A)\cap Mor(\emptyset ,B)=\emptyset$ dla $A\neq B\,$. To nie oznacza, że mamy jakąś nową, "teoriokategoryjną" definicję i wtedy jest inaczej. Definicja morfizmów Set jest teoriomnogościowa.

Kiedy mówisz, że "nic nie stoi na przeszkodzie, żeby ta sama funkcja była morfizmem między różnymi obiektami" [może raczej "różnymi parami obiektów"], a nawet podajesz przykład funkcji będącej morfizmem między obiektami różnych kategorii, to dokonujesz skrótu myślowego, który – po rozwikłaniu – prowadzi do stwierdzenia, że jednak mowa o różnych przedmiotach. Już w obrębie jednej kategorii "to samo" nie może być morfizmem między rożnymi parami obiektów, bo każdy morfizm należy do tylko jednej klasy $Mor(A,B)\;$. Jeśli traktujesz jako "te same" morfizmy różnych kategorii, to tylko dlatego, że bierzesz funktor (np. funktor zapominania) z jednej z nich w drugą i "utożsamiasz" morfizm z przyporządkowanym mu za pomocą funktora. Utożsamiasz też obiekty, a one są w istocie różne — $\mathbb {R}$ w kategorii Gr to co innego niż $\mathbb {R}$ w kategorii Set.

Art. funkcja urodził się w 2002 r., był długo zupełnie nieuźródłowiony, miał ponad 360 wersji, jest dość chaotyczny i właściwie nie wiadomo, jaką definicję funkcji on przedstawia. Źródła w przypisach dotyczą wyrwanych małych kawałków art. A później inne art. do niego odsyłają i nie wiadomo właściwie do czego. Kiedy wystarczą intuicje – tak może być. Ale kiedy pojawia się potrzeba wyjaśnienia jakiegoś lekkiego dziwoląga – nagle okazuje się, że braki formalne definicji funkcji uniemożliwiają porządne zdefiniowanie funkcji pustej. Trudno się dziwić – ta jest zupełnie nieintuicyjna ("każdemu elementowi znikąd przyporządkowany jest dokładnie jeden element ze zbioru Y ;-)". Papageno (Pisz do mnie tu) 13:10, 3 sty 2012 (CET)

Oczywiście, że diabeł tkwi w szczegółach. Po prostu w literaturze funkcjonują dwa poglądy na to, co to jest funkcja: jeden odpowiadający funkcji z Poradnika i jeden odpowiadający odwzorowaniu z Poradnika. W pierwszym funkcja nie wyznacza swojej przeciwdziedziny, w drugim wyznacza. To są różne pojęcia. Istotnych ryzyk związanym z żadnym z tych pojęć nie ma, w każdej wersji wszystko da się porządnie zrobić, tylko w każdym przypadku trochę inaczej. Żadnych zagrożeń związanych z wpadnięciem w naiwną teorię mnogości nie ma. Na przykład:

• W pierwszej wersji ta sama funkcja może "być na $[0;\infty )$" i zarazem nie "być na $\mathbb {R}$". Po prostu "być na" jest relacją dwuargumentową między funkcją i zbiorem (nieoficjalnie, bo ta relacja to dopiero w teorii klas dałaby się zdefiniować). Ten zbiór wskazuje zakres kwantyfikatorów w formule wyrażającej własność.
• W drugim funkcja może być "na" w oderwaniu od kontekstu, bo ma w swojej definicji z góry umieszczony zbiór, po którym należy kwantyfikować. Tym razem "być na" jest cechą samej funkcji (relacją jednoargumentową - również nieoficjalnie).

Jeśli chodzi o Twoje wycieczki w teorię kategorii, to ma ona ambicje dostarczać alternatywnych podstaw dla matematyki, więc trudno się dziwić, że wszystko jest inaczej. Wtedy trzeba sobie postawić pytanie, czy matematyka na Wikipedii ma być robiona w terminach teorii mnogości czy teorii kategoriii, bo to będą różne opowieści. Żeby to sobie uzmysłowić zastanów się nad pytaniem, czym się w Twojej opinii różnią pomiędzy sobą jako funkcje morfizmy identycznościowe z $\mathbb {R}$ w $\mathbb {R}$ w kategoriach zbiorów, grup, pierścieni, ciał, przestrzeni liniowych nad $\mathbb {Q}$ oraz przestrzeni liniowych nad $\mathbb {R}$. Zauważ, że dziedziny, przeciwdziedziny i wykresy mają identyczne, jeśli więc wskażesz różnicę, to uznasz, że nie są one wcale funkcjami w Twoim sensie, bo mają jeszcze jakieś dodatkowe cechy różnicujące oprócz tych w/w. Gżdacz (dyskusja) 14:33, 3 sty 2012 (CET)

Może to da się porządnie zrobić (ale nie za pomocą "Po prostu..." i "nieoficjalnie", bo tak popełnia się błędy), tylko że to już zostało w Wikipedii jakoś zrobione i próba zdefiniowania funkcji pustej na podstawie innej definicji funkcji niż ta, którą mamy w funkcja byłaby chyba nierozumna. Zwłaszcza próba wymagająca sięgania do teorii klas, która byłaby inną opowieścią, zupełnie niepotrzebną. A definicja w funkcja wymaga podania przeciwdziedziny.

"Wycieczkami" w teorię kategorii nie miałem zamiaru sugerować, że należy zbudować artykuły matematyczne bazując na niej. Chodzi o co innego - pojęcie funkcji pustej pojawia się w sposób naturalny właśnie w Set (i nie bardzo widzę, gdzie by się jeszcze przydawało), a tam funkcje puste o różnych przeciwdziedzinach są różnymi morfizmami.

Dociekanie czym różnią się morfizmy w różnych kategoriach jest jeszcze dalsze od pytania o funkcję pustą, niż wycieczka w Set.

Papageno (Pisz do mnie tu) 16:12, 3 sty 2012 (CET)

No to popatrzmy na definicję w artykule Funkcja:

Funkcją $f$ ze zbioru $X$ w zbiór $Y$ nazywa się podzbiór iloczynu kartezjańskiego $W\subseteq X\times Y$ (relację dwuargumentową) spełniający warunki

$\forall _{x\in X}\;\exists _{y\in Y}\;(x,y)\in W,$

$\forall _{x\in X}\;\forall _{y\in Y}\;\forall _{z\in Y}\;(x,y)\in W\land (x,z)\in W\Rightarrow y=z,$

{{Cytat}} Brakujące pola: treść. Przestarzałe pola: 1.

Po pierwsze, nie jest to zatem w ogóle definicja funkcji. Jest to definicja funkcji z X w Y, bo do sprawdzenia warunków trzeba wiedzieć, czym są X i Y. Jednak sam zbiór W nie niesie w sobie informacji, jaką ma przeciwdziedzinę. W tym sensie ten sam zbiór $\{\langle x,x^{2}\rangle :x\in \mathbb {R} \}$ jest zarówno funkcją $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ jak i funkcją $\mathbb {R} \to [0;\infty )$, bo

$\{\langle x,x^{2}\rangle :x\in \mathbb {R} \}\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R}$

jak też

$\{\langle x,x^{2}\rangle :x\in \mathbb {R} \}\subseteq \mathbb {R} \times [0;\infty )$,

a warunki z kwantyfikatorami są w obu przypadkach również spełnione. W tej pierwszej roli nie jest "na", w tej drugiej jest. Tak po prostu jest w Wikipedii.

W tym sensie $\emptyset$ jest pustą funkcją z $\emptyset$ w zbiór X, dla dowolnego X. Zatem spokojnie artykuł Funkcja pusta można zintegrować z artykułem Zbiór pusty, bo zbiór pusty jest jedynym zbiorem któremu przysługuje własność bycia pustą funkcją z $\emptyset$ w zbiór X, niezależnie od X.

Gżdacz (dyskusja) 19:43, 3 sty 2012 (CET)

Właśnie wykazałeś, że zawarta w art. funkcja definicja funkcji zawiera w sobie wskazanie dziedziny i przeciwdziedziny, inaczej mówiąc funkcja jest trójką $\langle X,Y,W\rangle$. Sam zbiór $W\,$ nie jest zatem funkcją i stwierdzenie, że jest on funkcją o różnych przeciwdziedzinach mija się z powyższą definicją funkcji. W szczególności funkcja pusta jest trójką $\langle \emptyset ,X,\emptyset \rangle$ więc funkcje puste o różnych przeciwdziedzinach są różne.

Jest jeszcze jedno pytanie: nawet gdyby przebudować definicję funkcji według Twojego projektu (jeśli to wykonalne, to i tak obawiam się, że przeciw 99% literatury i ze sporą dawką OR), to po co? Po to żeby wszystkie funkcje puste upchnąć w art. zbiór pusty? Można by na podobnej zasadzie dołączyć tam kilka innych rzeczy: zero, zaraz za nim pozostałe liczby naturalne i wszelkie inne, modele geometrii, a na koniec smoki i wybory do Sejmu Ustawodawczego w 1947 roku ;-). Czy włożenie funkcji pustej do art. zbiór pusty ułatwiłoby odszukanie informacji o funkcjach pustych i zrozumienie jej? A jak przeredagowalibyśmy wtedy przykłady w art. kategoria? Wprowadzając wszędzie rozróżnienie funkcji i odwzorowania? Gdzie w literaturze jest takie rozróżnienie konsekwentnie stosowane? W matematyce zdefiniowanie czegokolwiek albo opisanie czegoś inaczej niż inni jest celowe, jeśli potrafimy o nowozdefiniowanym obiekcie coś ciekawego powiedzieć albo nowy opis pozwala wskazać nieznane wcześniej własności. Inaczej tworzenie nowych pojęć i nowe opisy to tylko tworzenie napisów zgodnych z pewną gramatyką. Papageno (Pisz do mnie tu) 23:47, 3 sty 2012 (CET)

Zdumiałem się Twoimi słowami. Przeczytaj jeszcze raz ten cytat w ramce, wycięty z artykułu Funkcja. A teraz dokonam jego rozbioru logicznego. Pojęciem definiowanym (formalnie definiendum) jest to, co poprzedza spójkę definicyjną "nazywa się", czyli fraza

Funkcją $f$ ze zbioru $X$ w zbiór $Y$ ...

{{Cytat}} Brakujące pola: treść. Przestarzałe pola: 1.

Zatem powyżej pojęciem definiowanym jest Funkcja $f$ ze zbioru $X$ w zbiór $Y$. Pojęcie funkcja bez żadnych uzupełnień pozostaje pojęciem niezdefiniowanym.

Po "nazywa się" następuje definiens:

podzbiór iloczynu kartezjańskiego $W\subseteq X\times Y$ (relację dwuargumentową) spełniający warunki...

{{Cytat}} Brakujące pola: treść. Przestarzałe pola: 1.

Zauważ, że trójki (X,Y,W) w tej definicji nigdzie nie ma. Nic też o niej nie twierdziłem, jak mi zarzucasz.

Na koniec sugestia, że mój pogląd jest wbrew 99% literatury wydaje jest absolutnie nietrafny - ja na razie wskazałem 2 źródła potwierdzające mój pogląd, a Ty na swój żadnego. Zatem w uźródłowieniu jest na razie 2:0 dla mnie. Żeby mnie przekonać, że mój pogląd jest wbrew 99% źródeł powinieneś teraz wskazać 198 źródeł, w których jest po Twojemu.

Gżdacz (dyskusja) 12:41, 4 sty 2012 (CET)