Zbiór pusty

∅

Zbiór pusty – zbiór niezawierający żadnych elementów; zazwyczaj oznaczany symbolami $\varnothing ,$ $\emptyset ,$ rzadziej $\{\}$ (niegdyś również: 0 lub Λ). Zbiór, który nie jest pusty, tj. taki, który zawiera choćby jeden element, nazywany jest zbiorem niepustym.

W teorii mnogości Zermela-Fraenkla istnienie zbioru pustego jest zagwarantowane przez aksjomat zbioru pustego, a jego jedyność wynika z aksjomatu ekstensjonalności.

Własności

• Zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru:

  $\forall A:\varnothing \subseteq A,$

bo zgodnie z definicją zachodzi

$\forall x:(x\in \varnothing \implies x\in A).$

Prawdziwość powyższej implikacji wynika z reguły z fałszu wynika wszystko.

• Suma dowolnego zbioru A i zbioru pustego jest równa zbiorowi A:

  $\forall A:A\cup \varnothing =A$

• Iloczyn dowolnego zbioru A i zbioru pustego jest równy zbiorowi pustemu:

  $\forall A:A\cap \varnothing =\varnothing$

• Iloczyn kartezjański dowolnego zbioru A i zbioru pustego jest równy zbiorowi pustemu:

  $\forall A:A\times \varnothing =\varnothing$

• Jedynym podzbiorem zbioru pustego jest zbiór pusty:

  $\forall A:(A\subseteq \varnothing \implies A=\varnothing )$

Oznacza to, że zbiór potęgowy zbioru pustego zawiera tylko jeden element, czyli zbiór pusty.

• Moc zbioru pustego wynosi 0:

  $\left\vert \varnothing \right\vert =0$

• Dla dowolnego zbioru A zbiór pusty jest relacją w A zwaną relacją pustą.
• Dla dowolnego zbioru A można określić funkcję $f:\varnothing \to A,$ zwaną funkcją pustą.
• Jeżeli $F(x)$ jest dowolną funkcją zdaniową, to prawdą jest, że:

  $\forall x\in \varnothing :(F(x)\land \lnot F(x))$

• Ponadto dla dowolnej funkcji zdaniowej $F(x)$ i zbioru A, na którym jest ona określona, zachodzi warunek:

  $[\forall x\in A:(F(x)\land \lnot F(x))]\implies A=\varnothing$

• $\varnothing \neq \{\varnothing \}\neq \{\{\varnothing \}\}$ etc.

Zobacz też

• zbiór jednoelementowy

Bibliografia

• Algebra zbiorów. § 3. Inkluzje. Zbiór pusty, [w:] KazimierzK. Kuratowski KazimierzK., AndrzejA. Mostowski AndrzejA., Teoria mnogości, t. 27, Warszawa-Wrocław 1952 (Monografie matematyczne), s. 8–10 [zarchiwizowane z adresu 2003-07-04] .
• AntoniA. Wiweger AntoniA., Kłopoty ze zbiorem pustym, „Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego. Seria II. Wiadomości Matematyczne”, 11 (2), 1970, s. 187–199 .