Przejdź do zawartości

Zbiór pusty

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Zbiór pustyzbiór niezawierający żadnych elementów[1]; zazwyczaj oznaczany symbolami rzadziej (niegdyś również: 0[2] lub Λ[3]). Zbiór, który nie jest pusty, tj. taki, który zawiera choćby jeden element, nazywany jest zbiorem niepustym[4].

W teorii mnogości Zermela-Fraenkla istnienie zbioru pustego jest zagwarantowane przez aksjomat zbioru pustego[5], a jego jedyność wynika z aksjomatu ekstensjonalności.

Własności

[edytuj | edytuj kod]
  • Zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru:
bo zgodnie z definicją zachodzi
Prawdziwość powyższej implikacji wynika z reguły z fałszu wynika wszystko.
  • Suma dowolnego zbioru A i zbioru pustego jest równa zbiorowi A:
  • Iloczyn dowolnego zbioru A i zbioru pustego jest równy zbiorowi pustemu:
  • Iloczyn kartezjański dowolnego zbioru A i zbioru pustego jest równy zbiorowi pustemu:
  • Jedynym podzbiorem zbioru pustego jest zbiór pusty:
Oznacza to, że zbiór potęgowy zbioru pustego zawiera tylko jeden element, czyli zbiór pusty.
  • Moc zbioru pustego wynosi 0:
  • Dla dowolnego zbioru A zbiór pusty jest relacją w A zwaną relacją pustą.
  • Dla dowolnego zbioru A można określić funkcję zwaną funkcją pustą.
  • Jeżeli jest dowolną funkcją zdaniową, to prawdą jest, że:
  • Ponadto dla dowolnej funkcji zdaniowej i zbioru A, na którym jest ona określona, zachodzi warunek:
  • etc.

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. zbiór pusty, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-04].
  2. Roman Sikorski, Rachunek różniczkowy i całkowy, Biblioteka Matematyczna, tom 28, Warszawa 1972, s. 12.
  3. Andrzej Grzegorczyk, Zarys logiki matematycznej, t. 20, Warszawa 1973, s. 35.
  4. Eric W. Weisstein, Empty Set [online], mathworld.wolfram.com [dostęp 2022-08-11] (ang.).
  5. Eric W. Weisstein, Axiom of the Empty Set [online], mathworld.wolfram.com [dostęp 2022-08-11] (ang.).

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]