Analytisk funksjon

Denne artikkelen handlar om funksjonen som kan skildrast som ei potensrekkje. For funksjonen i kompleks analyse, sjå holomorf funksjon.

Ein analytisk funksjon er ein matematisk funksjon, som i eit kvart punkt i domenet sitt kan skildrast lokalt som ei konvergerande potensrekkje. Funksjonen f(x) er analytisk i p dersom han kan uttrykkjast som ei konvergerande potensrekkje i eit intervall som omgjev x = p. Dersom f(x) er analytisk i eit kvart punkt i domenet sitt, kallar vi han berre ein analytisk funksjon eller ein C^ω-glatt funksjon. Det er omsynssmessig å dele inn i reelle analytiske funksjonar og komplekse analytiske funksjonar. Innan kompleks analyse er holomorf og analytisk ekvivalente eigenskapar. Ein heil funksjon er ein holomorf funksjon som er definert for heile det komplekse planet.

Eigenskapar til analytiske funksjonar

• Kvar og ein sum, produkt og funksjonssammensetning av analytiske funksjonar er analytiske.
• Den inverse av ein analytisk funksjon som aldri har verdien null er analytisk. Det er òg den inverse av ein speglvend analytisk funksjon viss deriverte aldri har verdien null.
• Ein analytisk funksjon er alltid glatt.
• Eit polynom kan ikkje ha fleire null-løysingar enn polynomgrada. Eit liknande men svakare utsegn gjeld for analytiske funksjonar. Viss settet av null til ein analytisk funksjon f har eit akkumuleringspunkt innanfor området sitt, då må f òg vere null innanfor det tilknytte området til akkumuleringspunktet. Meir formelt kan dette framstellast i det følgjande: Viss r_n er ei rekkje, slik at f(r_n) = 0 for alle n og denne rekkja konvergerer til eit punkt r i domenet D, så er f identisk med null i den tilknytte komponenten av D som inneheld r.

Definisjonar

Formelt er ein funksjon ƒ reell analytisk i eit ope sett D på ei reell linje viss ein for alle x₀ i D kan skrive

${\begin{aligned}f(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}\\&=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+a_{3}(x-x_{0})^{3}+\cdots \end{aligned}}$

der koeffisientane a₀, a₁, ... er reelle tal og rekkjene konvergerer til ƒ(x) for x i området kring x₀.

Alternativt er ein analytisk funksjon ein uendeleg differensierbar funksjon slik at Taylor-rekkja i punktet x₀ i domenet sitt

$T(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}$

konvergerer til ƒ(x) for x i området kring x₀.

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Analytisk funksjon» frå Wikipedia på bokmål, og «Analytic function» frå Wikipedia på engelsk den 28. oktober 2011.