Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
In de analyse is een maclaurin-reeks een speciaal geval van de taylorreeks waarvoor als ontwikkelingspunt het punt 0 is gekozen. De reeks is genoemd naar de Schotse wiskundige Colin Maclaurin . Als de functie
f
{\displaystyle f}
willekeurig vaak differentieerbaar is in een complexe omgeving van het punt 0, wordt de maclaurin-reeks van
f
{\displaystyle f}
in een complexe omgeving van 0 gegeven door:
f
(
x
)
∼
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
(
0
)
n
!
x
n
=
f
(
0
)
+
f
′
(
0
)
x
+
1
2
f
″
(
0
)
x
2
+
…
{\displaystyle f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}=f(0)+f'(0)\ x+{\tfrac {1}{2}}f''(0)\ x^{2}+\ldots }
Door een geschikte substitutie kan men elke taylorreeks als een maclaurin-reeks interpreteren
f
(
x
0
+
h
)
∼
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
(
x
0
)
n
!
h
n
=
f
(
x
0
)
+
f
′
(
x
0
)
h
+
1
2
f
″
(
x
0
)
h
2
+
…
{\displaystyle f(x_{0}+h)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}h^{n}=f(x_{0})+f'(x_{0})h+{\tfrac {1}{2}}f''(x_{0})h^{2}+\ldots }
is de maclaurin-reeks van de functie
h
↦
f
(
x
0
+
h
)
{\displaystyle h\mapsto f(x_{0}+h)}
Voor functies die in het punt 0 niet zijn gedefinieerd of niet differentieerbaar zijn, zoals
1
/
x
{\displaystyle 1/x}
en
log
(
x
)
{\displaystyle \log(x)}
laat zich geen maclaurin-reeks ontwikkelen.
Voor de exponentiële functie
f
(
x
)
=
e
x
{\displaystyle f(x)=e^{x}}
is
f
(
0
)
=
1
,
f
′
(
0
)
=
1
,
f
″
(
0
)
=
1
,
…
{\displaystyle f(0)=1,f'(0)=1,f''(0)=1,\ldots }
en dus is de maclaurin-reeks ervan de reeks
e
x
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
x
4
4
!
+
…
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
{\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}}
Voor een negatieve
x
{\displaystyle x}
is dat:
e
−
x
=
1
−
x
+
x
2
2
!
−
x
3
3
!
+
x
4
4
!
−
…
{\displaystyle e^{-x}=1-x+{x^{2} \over 2!}-{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}-\ldots }
Voor de inverse functies:
ln
(
1
+
x
)
=
x
−
x
2
2
+
x
3
3
−
x
4
4
+
…
{\displaystyle \ln(1+x)=x-{x^{2} \over 2}+{x^{3} \over 3}-{x^{4} \over 4}+\ldots }
ln
(
1
−
x
)
=
−
x
−
x
2
2
−
x
3
3
−
x
4
4
−
…
{\displaystyle \ln(1-x)=-x-{x^{2} \over 2}-{x^{3} \over 3}-{x^{4} \over 4}-\ldots }
Voor de sinus
f
(
x
)
=
sin
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\sin(x)}
is
f
′
(
x
)
=
cos
(
x
)
,
f
″
(
x
)
=
−
sin
(
x
)
,
f
‴
(
x
)
=
−
cos
(
x
)
,
f
⁗
(
x
)
=
sin
(
x
)
,
…
{\displaystyle f'(x)=\cos(x),f''(x)=-\sin(x),f'''(x)=-\cos(x),f''''(x)=\sin(x),\ldots }
en aangezien
sin
(
0
)
=
0
{\displaystyle \sin(0)=0}
en
cos
(
0
)
=
1
{\displaystyle \cos(0)=1}
, is de maclaurin-reeks van de sinus:
sin
(
x
)
=
x
1
!
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
x
7
7
!
+
…
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
!
x
2
n
+
1
{\displaystyle \sin(x)={x \over 1!}-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}}
Voor cos is dat:
cos
(
x
)
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
x
6
6
!
+
…
{\displaystyle \cos(x)=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}+\ldots }
Voor de hyperbolische functies:
sinh
(
x
)
=
x
1
!
+
x
3
3
!
+
x
5
5
!
+
x
7
7
!
+
…
{\displaystyle \sinh(x)={x \over 1!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}+{x^{7} \over 7!}+\ldots }
cosh
(
x
)
=
1
+
x
2
2
!
+
x
4
4
!
+
x
6
6
!
+
…
{\displaystyle \cosh(x)=1+{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}+{x^{6} \over 6!}+\ldots }