Lijnvermenigvuldiging
Een lijnvermenigvuldiging (ook wel axiale vermenigvuldiging) is een afbeelding (transformatie) van het euclidische vlak op zichzelf, waarbij twee vaste rechte lijnen en , die niet evenwijdig zijn, en een reëel getal een rol spelen bij het bepalen van het beeldpunt van een punt in dat vlak.
Het beeld van ieder punt bij een lijnvermenigvuldiging wordt als volgt bepaald (zie figuur 1):
- Het punt (verderop ter onderscheid, bij een punt , ook wel geschreven als ) is het snijpunt met de lijn van de lijn die door het punt gaat en die evenwijdig is met de lijn .
- Het punt ligt zó op de lijn dat .
- Als is, dan liggen en aan dezelfde kant van . Is , dan liggen en aan verschillende kanten van (het punt ligt dan op het lijnstuk ).
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/Lijnvermenigvuldiging%28fig1%29_definitie.png/260px-Lijnvermenigvuldiging%28fig1%29_definitie.png)
Naamgeving
[bewerken | brontekst bewerken]De lijn is de affiniteitsas (of collineatie-as) van , kortweg ook wel de as van . De (richting van de) lijn is de richting van . Het getal is de (vermenigvuldigings)factor van .
Als en niet loodrecht op elkaar staan, dan is scheef: een scheve lijnvermenigvuldiging ten opzichte van de as met richting .
Als loodrecht staat op , dan is recht (of orthogonaal): een rechte lijnvermenigvuldiging ten opzichte van de as . In dit laatste geval wordt het woord ‘rechte’ soms weggelaten.
Als is, is de zogeheten identieke afbeelding: voor ieder punt is dan .
Een andere definitie
[bewerken | brontekst bewerken]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ca/Lijnvermenigvuldiging%28fig2neg%29.png/260px-Lijnvermenigvuldiging%28fig2neg%29.png)
De factor kan ook worden vastgelegd door een gegeven punt en het beeldpunt daarvan. Deze punten worden meestal op de lijn gekozen.
Liggen en daarbij aan verschillende kanten van (het snijpunt van en ), dan is negatief; zie figuur 2, waarin .
N.B. Als het getal op deze manier wordt vastgelegd, is de lijnvermenigvuldiging van een punt geheel met passer en (ongemerkte) liniaal uit te voeren. Het op de lijn liggend punt van de verbindingslijn tussen en het te vermenigvuldigen punt speelt daarbij een ‘intermediërende’ rol.
Eigenschappen
[bewerken | brontekst bewerken]In deze paragraaf is een scheve of rechte lijnvermenigvuldiging t.o.v. de as , met richting en met .
- De lijn is invariant onder : voor ieder punt van is .
- De lijn wordt niet puntsgewijs op zichzelf afgebeeld: voor ieder punt van geldt dat op de lijn ligt, waarbij dan (als , dan is , en die waarde is uitgesloten).
- Een rechte lijn wordt door afgebeeld op een rechte lijn. Het snijpunt van een lijn en diens beeldlijn ligt op de lijn (mits die lijn niet evenwijdig is met ).
- Een deelverhouding [1] op een lijnstuk is gelijk aan de (door ingesneden) deelverhouding op het beeldlijnstuk; zie figuur 3, waarin .
- Evenwijdige lijnen worden door afgebeeld op evenwijdige lijnen; zie figuur 4.
Op grond van deze eigenschappen behoren de lijnvermenigvuldigingen tot de zogeheten affiene transformaties van het vlak.
Twee toepassingen
[bewerken | brontekst bewerken]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a9/Lijnvermenigvuldiging%28fig5%29_definitie.png/260px-Lijnvermenigvuldiging%28fig5%29_definitie.png)
1. Bij grafieken van functies (in een standaard -assenstelsel) wordt de lijnvermenigvuldiging gebruikt bij verticaal en horizontaal vermenigvuldigen van (de grafiek van) de functie (richtingverschaling); dat wil zeggen:
- a. verticaal vermenigvuldigen – het toepassen van een (rechte) lijnvermenigvuldiging t.o.v. de -as;
- b. horizontaal vermenigvuldigen – het toepassen van een (rechte) lijnvermenigvuldiging t.o.v. de -as.
Voorbeeld. In figuur 5 is de grafiek van de functie weergegeven op het interval . Het beeld van (de grafiek van) is bepaald met de verticale vermenigvuldiging waarbij ; daarbij is . De grafiek van het -beeld van de grafiek van heeft daarmee het voorschrift:
In dezelfde figuur is op ook de horizontale vermenigvuldiging met toegepast, beperkt tot het interval op de -as. Daarbij is en .
Is nu , voor , dan is:[2]
zodat:
- en
Omdat zo’n punt op de grafiek van ligt, geldt ook:
Daaruit volgt door substitutie:
Het functievoorschrift van het -beeld van de (grafiek van de) functie is dan:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ca/Lijnvermenigvuldiging%28fig6%29_definitie.png/260px-Lijnvermenigvuldiging%28fig6%29_definitie.png)
2. In de meetkunde wordt de lijnvermenigvuldiging gebruikt bij de analytische behandeling van de ellips: het beeld van een cirkel bij een rechte (of scheve) lijnvermenigvuldiging t.o.v. een middellijn van die cirkel is namelijk een ellips.
Voorbeeld. Zie figuur 6, waarin een middellijn is van de cirkel . De vergelijking van , met middelpunt en straal , is in een standaard -assenstelsel:
Voor een punt op is , waarbij de (veranderlijke) hoek is tussen de positieve -as en het lijnstuk (met ).
Wordt op de verticale vermenigvuldiging toegepast met factor (hier is ), dan geldt voor :
- of ook:
Dus is:
Kwadrateren geeft nu de relatie:
De meetkundige plaats van de punten bij veranderende waarden van heeft dan de vergelijking:
Dit is de vergelijking van een ellips met middelpunt waarvan de lengtes van de halve assen gelijk zijn aan en .
In figuur 6 is ook de cirkel , met middelpunt en straal , weergegeven. Voor het snijpunt van met is .
Wordt nu op de cirkel de horizontale vermenigvuldiging met factor toegepast, dan geldt voor het beeldpunt van :
En daaruit blijkt dat de horizontale vermenigvuldiging van de cirkel hetzelfde effect heeft als de verticale vermenigvuldiging van de cirkel : in beide gevallen is dat de ellips met middelpunt en halve assen en .
Uitbreiding tot
[bewerken | brontekst bewerken]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b8/Lijnvermenigvuldiging%28fig7%29_definitie.png/260px-Lijnvermenigvuldiging%28fig7%29_definitie.png)
De lijn moet in de driedimensionale euclidische ruimte vervangen worden door een vlak om ook in die ruimte een dergelijke vermenigvuldiging met richting te kunnen definiëren: een vlakvermenigvuldiging . De lijn moet daarbij het vlak snijden.
De constructie van het beeldpunt van gaat in dit geval als volgt; zie figuur 7.
- De lijn gaat door het punt en is evenwijdig met de lijn .
- Het punt is het snijpunt van de lijn met het vlak .
- Het punt ligt zó op de lijn dat . Als is, dan liggen en aan dezelfde kant van ; is , dan liggen en aan verschillende kanten van (dus aan verschillende kanten van het vlak ).
Zie ook
[bewerken | brontekst bewerken]- Verschalen (meetkunde)
- Homothetie (meetkunde)
- Lineaire transformatie
- Parametervergelijking
- Toegevoegde middellijnen bij een ellips
- Constructie van Rytz van toegevoegde middellijnen
- Projectie (wiskunde)
Externe links
[bewerken | brontekst bewerken]- Math4all: Functies en grafieken, Transformaties. Via de website.
- D. Klingens (2002): Affiene afbeeldingen van het vlak op zichzelf. Via de website PandD.
Bronnen en literatuur
- P. Molenbroek: Leerboek der stereometrie. Groningen: P. Noordhoff N.V.; 8e druk, 1934, pp. 30−33.
- P. Molenbroek: Leerboek der vlakke meetkunde. Groningen: P. Noordhoff N.V.; 8e druk, 1939, pp. 429−435.
- H.S.M. Coxeter (1961): Introduction to Geometry. New York: John Wiley & Sons, Inc.; 2nd edition, 1969, pp. 247−251, pp. 288−290.
- J.C.H. Gerretsen (1969):
Grondslagen van de leer der translaties en spiegelingen in de vlakke meetkunde In: Euclides, jg. 1969-1970, nr. 3; pp. 91−104.
- G. Vonk, H. Freudenthal (1971): Projectieve meetkunde. Utrecht: IOWO; tweede druk, 1975, pp. 29−38.
- M. Kindt (1993): Lessen in Projectieve Meetkunde. Utrecht: Epsilon Uitgaven; 2e druk, 1996, pp. 75−80.