Praktisch getal

In de getaltheorie noemt men een positief geheel getal n een praktisch getal wanneer elk geheel getal van 1 tot n geschreven kan worden als een som van verschillende delers van n.

De Indische wiskundige A.K. Srinivasan introduceerde de term "praktisch getal" in 1948.

Er zijn oneindig veel praktische getallen. De eerste praktische getallen zijn:

1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, ....

Bijvoorbeeld: 12 is een praktisch getal want de getallen 1 tot en met 12 kunnen geschreven worden als een som van verschillende delers van 12. De delers van 12 zijn 1, 2, 3, 4, 6 en 12 en verder geldt dat 5 is 2+3, 7 is 4+3, 8 is 2+6, 9 is 3+6, 10 is 4+6 en 11 is 1+4+6.

Bepalen van praktische getallen

Of een gegeven getal een praktisch getal is, kan men bepalen aan de hand van zijn ontbinding in priemfactoren. Zij deze ontbinding $n=p_{1}^{\alpha _{1}}...p_{k}^{\alpha _{k}}$ met $n>1$ en met de priemfactoren $p_{1}<p_{2}<\dots <p_{k}$

Dan is n een praktisch getal als en slechts als $p_{1}=2$ en, voor elke i van 2 tot k,

$p_{i}\leq 1+\sigma (p_{1}^{\alpha _{1}}\dots p_{i-1}^{\alpha _{i-1}})=1+\prod _{j=1}^{i-1}{\frac {p_{j}^{\alpha _{j}+1}-1}{p_{j}-1}},$

waarbij $\sigma (x)$ de som van de delers van x is.

Deze stelling werd bewezen door B.M. Stewart in 1954 en Wacław Sierpiński in 1955.

Voorbeelden

• 2 is een praktisch getal en elke macht van 2 is dat ook.
• Elk even perfect getal is een praktisch getal.
• Elke primoriaal (het product van de eerste x priemgetallen) is een praktisch getal.

Enkele eigenschappen

• Alle praktische getallen op het eerste (1) na, zijn even.
• Elk praktisch getal groter dan 2 is een veelvoud van 4 of 6.
• Wanneer n een praktisch getal is, is 2n ook een praktisch getal.
• Er zijn oneindig veel trio's van getallen m-2, m en m+2 die alle drie praktische getallen zijn.
• Noem P(x) het aantal praktische getallen die niet groter zijn dan x. De orde van grootte van P(x) is x/log(x).

Analogie met priemgetallen

De verzameling van praktische getallen vertoont een aantal overeenkomsten met die van de priemgetallen. Ze lijkt op het eerste gezicht een analoge verdeling te hebben, en de verschillen tussen opeenvolgende getallen verlopen analoog. Er zijn oneindig veel "tweelingen" (twee opeenvolgende praktische getallen met een verschil van twee) die ongeveer dezelfde verdeling hebben als dat het geval is bij de priemgetallen. Voor praktische getallen is een stelling verwant aan het vermoeden van Goldbach bewezen: elk even positief geheel getal is een som van twee praktische getallen.. Het is ook bewezen dat er oneindig veel praktische Fibonaccigetallen zijn; voor priemgetallen is een analoge stelling nog niet bewezen.

Bronnen, noten en/of referenties

· ·

Bijzondere getallen