Praktisch getal: verschil tussen versies

Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud

In de regel

Versie van 23 okt 2018 17:20

Een positief geheel getal $n$ wordt in de getaltheorie gedefinieerd als een praktisch getal wanneer elk geheel getal van 1 tot $n$ geschreven kan worden als een som van verschillende delers van $n$ . Er zijn oneindig veel praktische getallen. De eerste praktische getallen zijn:^[1]

1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, ....

Bijvoorbeeld: 12 is een praktisch getal want de getallen 1 tot en met 12 kunnen geschreven worden als een som van verschillende delers van 12. De delers van 12 zijn 1, 2, 3, 4, 6 en 12 en verder geldt dat 5=2+3, 7=4+3, 8=2+6, 9=3+6, 10=4+6 en 11=1+4+6.

De Indische wiskundige A.K. Srinivasan introduceerde in 1948 de naam "praktisch getal".^[2]

Bepalen van praktische getallen

Of een gegeven getal een praktisch getal is, kan men bepalen aan de hand van zijn ontbinding in priemfactoren. Zij deze ontbinding $n=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}$ met $n>1$ en met de priemfactoren $p_{1}<p_{2}<\ldots <p_{k}$

Dan is $n$ een praktisch getal dan en slechts dan als $p_{1}=2$ en, voor elke $i$ van 2 tot $k$ ,

p_{i}\leq 1+\sigma (p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{i-1}^{\alpha _{i-1}})=1+\prod _{j=1}^{i-1}{\frac {p_{j}^{\alpha _{j}+1}-1}{p_{j}-1}},

waarin $\sigma (x)$ de som van de delers van $x$ is.

Deze stelling werd bewezen door B.M. Stewart in 1954^[3] en Wacław Sierpiński in 1955.^[4]

Voorbeelden

2 is een praktisch getal en elke macht van 2 is dat ook.
Elk even perfect getal is een praktisch getal.
Elke primoriaal, het product van de eerste $x$ priemgetallen, is een praktisch getal.

Enkele eigenschappen

Alle praktische getallen vanaf 2 zijn even.
Elk praktisch getal groter dan 2 is een veelvoud van 4 of 6.
Als $n$ een praktisch getal is, is $2n$ ook een praktisch getal.
Er zijn oneindig veel trio's van getallen $m-2,\,m,\,m+2$ die alle drie praktische getallen zijn.^[5]
Noem $P(x)$ het aantal praktische getallen die niet groter zijn dan $x$ . De orde van grootte van $P(x)$ is $x/\log x$ .^[6]

Overeenkomst met de priemgetallen

De verzameling van de praktische getallen en van de priemgetallen hebben veel hetzelfde. Ze hebben op het eerste gezicht een zelfde soort verdeling en de verschillen tussen opeenvolgende getallen houden gelijke tred. Er zijn oneindig veel "tweelingen", twee opeenvolgende praktische getallen met een verschil van twee, die ongeveer dezelfde verdeling hebben als dat het geval is bij de priemgetallen.^[7] Voor praktische getallen is een stelling, die met het vermoeden van Goldbach overeenkomt: elk even positief geheel getal is een som van twee praktische getallen.^[5] Het is ook bewezen dat er oneindig veel "praktische Fibonaccigetallen" zijn.^[8] Er is voor priemgetallen een dergelijke stelling nog niet bewezen.

Bronnen, noten en/of referenties

↑ rij A005153 in OEIS
↑ (en) AK Srinivasan in Current Science, Practical numbers, juni 1948. blz. 179-180
↑ (en) BM Stewart in American Journal of Mathematics. Sum of Distinct Divisors, 1954. vol 76 nr 4, blz. 779-785
↑ (fr) W Sierpiński in Annali di Matematica Pura ed Applicata. Sur une propriété des nombres naturels, 1955. vol 39 nr. 1, blz. 69-74 DOI:10.1007/BF02410762
↑ ^a ^b (en) G Melfi in Journal of Number Theory. On Two Conjectures about Practical Numbers, 1996. vol 56 nr. 1, blz. 205-210. DOI:10.1006/jnth.1996.0012
↑ (fr) E Saias in Journal of Number Theory. Entiers à diviseurs denses 1, 1997. vol 62 nr. 1, blz. 163–191. DOI:10.1006/jnth.1997.2057
↑ (fr) M Margenstern in Journal of Number Theory. Les nombres pratiques: théorie, observations et conjectures, 1991. vol 37 nr. 1, blz. 1-36. DOI:10.1016/S0022-314X(05)80022-8
↑ rij A124105 in OEIS

[1] rij A005153 in OEIS

[2] (en) AK Srinivasan in Current Science, Practical numbers, juni 1948. blz. 179-180

[3] (en) BM Stewart in American Journal of Mathematics. Sum of Distinct Divisors, 1954. vol 76 nr 4, blz. 779-785

[4] (fr) W Sierpiński in Annali di Matematica Pura ed Applicata. Sur une propriété des nombres naturels, 1955. vol 39 nr. 1, blz. 69-74 DOI:10.1007/BF02410762

[melfi-5] (en) G Melfi in Journal of Number Theory. On Two Conjectures about Practical Numbers, 1996. vol 56 nr. 1, blz. 205-210. DOI:10.1006/jnth.1996.0012

[6] (fr) E Saias in Journal of Number Theory. Entiers à diviseurs denses 1, 1997. vol 62 nr. 1, blz. 163–191. DOI:10.1006/jnth.1997.2057

[7] (fr) M Margenstern in Journal of Number Theory. Les nombres pratiques: théorie, observations et conjectures, 1991. vol 37 nr. 1, blz. 1-36. DOI:10.1016/S0022-314X(05)80022-8

[8] rij A124105 in OEIS

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

@@ Regel 1: / Regel 1: @@
-Een positief geheel getal ''n'' wordt in de [[getaltheorie]] gedefinieerd als een '''praktisch getal''' wanneer elk geheel getal van 1 tot ''n'' geschreven kan worden als een som van verschillende [[deler]]s van ''n''. Er zijn oneindig veel praktische getallen. De eerste praktische getallen zijn:<ref>{{Link OEIS|id=A005153}}</ref>
+Een positief geheel getal <math>n</math> wordt in de [[getaltheorie]] gedefinieerd als een '''praktisch getal''' wanneer elk geheel getal van 1 tot <math>n</math> geschreven kan worden als een som van verschillende [[deler]]s van <math>n</math>. Er zijn oneindig veel praktische getallen. De eerste praktische getallen zijn:<ref>{{Link OEIS|id=A005153}}</ref>
 :1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, ....
@@ Regel 9: / Regel 9: @@
 == Bepalen van praktische getallen ==
 Of een gegeven getal een praktisch getal is, kan men bepalen aan de hand van zijn [[Ontbinden in priemfactoren|ontbinding in priemfactoren]]. Zij deze ontbinding
-<math>n=p_1^{\alpha_1}...p_k^{\alpha_k}</math> met <math>n>1</math> en met de [[priemfactor]]en <math>p_1<p_2<\dots<p_k</math>
+<math>n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}</math> met <math>n>1</math> en met de [[priemfactor]]en <math>p_1<p_2<\ldots<p_k</math>
-Dan is ''n'' een praktisch getal [[dan en slechts dan als]] <math>p_1=2</math> en, voor elke ''i'' van 2 tot ''k'',
+Dan is <math>n</math> een praktisch getal [[dan en slechts dan als]] <math>p_1=2</math> en, voor elke <math>i</math> van 2 tot <math>k</math>,
-:<math>p_i\leq1+\sigma(p_1^{\alpha_1}\dots p_{i-1}^{\alpha_{i-1}})=1+\prod_{j=1}^{i-1}\frac{p_j^{\alpha_j+1}-1}{p_j-1},</math>
+:<math>p_i\leq 1 + \sigma(p_1^{\alpha_1}\cdots p_{i-1}^{\alpha_{i-1}}) = 1 + \prod_{j=1}^{i-1}\frac{p_j^{\alpha_j+1}-1}{p_j-1},</math>
-waarbij <math>\sigma(x)</math> de som van de delers van ''x'' is.
+waarin <math>\sigma(x)</math> de som van de delers van <math>x</math> is.
 Deze stelling werd bewezen door B.M. Stewart in 1954<ref>{{en}} {{aut|BM Stewart}} in [[American Journal of Mathematics]]. [http://www.jstor.org/stable/2372651 Sum of Distinct Divisors], 1954. vol 76 nr 4, blz. 779-785</ref> en [[Wacław Sierpiński]] in 1955.<ref>{{fr}} {{aut|Wacław Sierpiński|W Sierpiński}} in [[Annali di Matematica Pura ed Applicata]]. Sur une propriété des nombres naturels, 1955. vol 39 nr. 1, blz. 69-74 {{doi|id=10.1007/BF02410762}}</ref>
@@ Regel 20: / Regel 21: @@
 * 2 is een praktisch getal en elke macht van 2 is dat ook.
 * Elk even [[perfect getal]] is een praktisch getal.
-* Elke [[primoriaal]], het product van de eerste ''x'' priemgetallen, is een praktisch getal.
+* Elke [[primoriaal]], het product van de eerste <math>x</math> priemgetallen, is een praktisch getal.
 == Enkele eigenschappen ==
 * Alle praktische getallen vanaf 2 zijn even.
 * Elk praktisch getal groter dan 2 is een veelvoud van 4 of 6.
-* Wanneer ''n'' een praktisch getal is, is 2''n'' ook een praktisch getal.
+* Als <math>n</math> een praktisch getal is, is <math>2n</math> ook een praktisch getal.
-* Er zijn oneindig veel trio's van getallen ''m''-2, ''m'' en ''m''+2 die alle drie praktische getallen zijn.<ref name="melfi">{{en}} {{aut|G Melfi}} in [[Journal of Number Theory]]. On Two Conjectures about Practical Numbers, 1996. vol 56 nr. 1, blz. 205-210. {{doi|id= 10.1006/jnth.1996.0012}}</ref>
+* Er zijn oneindig veel trio's van getallen <math>m-2,\,m,\,m+2</math> die alle drie praktische getallen zijn.<ref name="melfi">{{en}} {{aut|G Melfi}} in [[Journal of Number Theory]]. On Two Conjectures about Practical Numbers, 1996. vol 56 nr. 1, blz. 205-210. {{doi|id= 10.1006/jnth.1996.0012}}</ref>
-* Noem ''P(x)'' het aantal praktische getallen die niet groter zijn dan ''x''. De [[orde van grootte]] van ''P(x)'' is ''x/[[natuurlijke logaritme|log]](x)''.<ref>{{fr}} {{aut|E Saias}} in Journal of Number Theory. Entiers à diviseurs denses 1, 1997. vol 62 nr. 1, blz. 163–191. {{doi|id= 10.1006/jnth.1997.2057}}</ref>
+* Noem <math>P(x)</math> het aantal praktische getallen die niet groter zijn dan <math>x</math>. De [[orde van grootte]] van <math>P(x)</math> is <math>x/\log x</math>.<ref>{{fr}} {{aut|E Saias}} in Journal of Number Theory. Entiers à diviseurs denses 1, 1997. vol 62 nr. 1, blz. 163–191. {{doi|id= 10.1006/jnth.1997.2057}}</ref>
 == Overeenkomst met de priemgetallen ==