Групна брзина

Групната брзина на бранот е брзината со која се движи целокупниот облик на амплитудата на бранот - познат како модулација или коверт на бранот - кој се движи низ вселената. На пример, ако каменот се фрли во средиштето на мирно езеро, во водата се појавува кружен модел на бранови со мирен центар, исто така познат како капиларен бран. Раширениот прстен на бранови претставува бранова група, во рамките на која може да се спојат поединечните “мали бранови“ на различни бранови должини кои патуваат со различни брзини. Пократките бранови патуваат побрзо од групата како целина, но нивните амплитуди се намалуваат додека се приближуваат кон водечкиот раб. Подолгите бранови патуваат побавно, а нивните амплитуди се намалуваат како што излегуваат од задната граница на групата.

Дефиниција и интерпретација

Дефиниција

Групната брзина $v g$ се изразува преку равенката:

^[1]^[2]^[3]^[4]

v_{g}\ \equiv \ {\frac {\partial \omega }{\partial k}}\,

каде $ω$ е аголната честота на бранот (обично изразена во радијани во секунда), а $k$ е аголна бранова должина (обично изразена во радијани по метар). Фазната брзина е: $v p = ω / k$ .

Функцијата $ω (k)$ , што дава $ω$ како функција на $k$ , е познато како дисперзија релација. • Ако $ω$ е правопропорционалена на $k$ , тогаш групната брзина е точно еднаква на фазната брзина. Бранот од која било форма ќе помине без исклучување со оваа брзина. • Ако $ω$ е линеарна функција на $k$ , но не е правопропорционална $(ω = ak + b)$ , тогаш групната брзина и фазната брзина се различни. Ковертот на пакетот на бранови (како на сликата десно) ќе оди по групната брзина, додека поединечните врвови и корита во пликото ќе се движат со брзината на фазата.

• Ако $ω$ не е линеарна функција на $k$ , ковертот на пакетот на бранови ќе се искриви додека патува. Бидејќи пакетот на бранови содржи опсег на различни честоти (а со тоа и различни вредности на $k$ ), групната брзина $\partialω/\partialk$ ќе биде различна за различни вредности на $k$ ). Затоа, пликото иако не се движи со една брзина, нејзините компоненти на брановата маса $k$ ) се движат со различни брзини, искривувајќи го пликот. Ако бранпакетот има тесен опсег на честоти, а $ω (k)$ е приближно линеарен над тој тесен опсег, пулсовата дисторзија ќе биде мала, во однос на малата нелинеарност. Погледнете ја понатамошна дискусија подолу. На пример, за длабоките водени гравиметриски бранови, $ω = \sqrt gk$ а оттука и $v g = v p /2$ .

.

Деривација

Една деривација на формулата за групна брзина е како што следува.

Размислете за група на бранови како функција на положба $x$ и време $t : α (x, t)$ .

Нека $A (k)$ биде нејзина Фуриева трансформација во времето $t = 0$ ,

\alpha (x,0)=\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{ikx}.

Со принципот на суперпозиција, брангрупата во секое време $t$ е:

\alpha (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{i(kx-\omega t)},

where $ω$ is implicitly a function of $k$ .

каде $ω$ е имплицитна функција на $k$ . Да претпоставиме дека пакетот на бранот $α$ е речиси монохроматски, така што $A (k)$ е остар врв околу централната бранова должина $k 0$ . Тогаш, линеаризацијата дава

\omega (k)\approx \omega _{0}+\left(k-k_{0}\right)\omega '_{0}

каде

\omega _{0}=\omega (k_{0})

and

\omega '_{0}=\left.{\frac {\partial \omega (k)}{\partial k}}\right|_{k=k_{0}}

(види го следниот дел за дискусија за овој чекор). Потоа, по некоја алгебра,

\alpha (x,t)=e^{i\left(k_{0}x-\omega _{0}t\right)}\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{i(k-k_{0})\left(x-\omega '_{0}t\right)}.

Во овој израз постојат два фактора. Првиот фактор, $e^{i\left(k_{0}x-\omega _{0}t\right)}$ , опишува совршен монохроматски бран со бранов вектор $k 0$ , со врвови и корита кои се движат на фазната брзина $\omega _{0}/k_{0}$ во рамките на пликот на бранпакет. Другиот фактор

\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{i(k-k_{0})\left(x-\omega '_{0}t\right)}

,

го дава пликот на бранпакетот. Оваа функција за пликови зависи од позицијата и времето само преку комбинацијата $(x-\omega '_{0}t)$ .

Затоа, пликот на бранпакет патува со брзина

\omega '_{0}=\left.{\frac {d\omega }{dk}}\right|_{k=k_{0}}~,

што ја објаснува формулата за групна брзина.

Термини од повисок ред во дисперзија

[[File:Wave disp.gif|thumb|388px|right|Искрација на бранови групи со ефекти на дисперзија со повисок ред, за површински гравитациски бранови на длабока вода $v g = ½ v p$ ).

Ова ја покажува суперпозицијата на компонентите од три бранови - со 22, 25 и 29 бранови должини кои се вклопуваат во периодичен хоризонтален домен со должина од 2 km. Амплитудите на бран на компонентите се 1, 2 и 1 метар. Дел од претходната деривација е апсорпцијата на делот Тејлор:

\omega (k)\approx \omega _{0}+(k-k_{0})\omega '_{0}(k_{0})

Ако бранпакет има релативно голема честота, или ако дисперзијата $ω(k)$ има остри варијации (како што се должи на резонанца) или ако пакетот патува на многу долги растојанија, оваа претпоставка не е валидна и повисок ред Термините во проширувањето Тејлор стануваат важни.

Како резултат на тоа, ковертот на пакетот на бранови не само што се движи, туку исто така го искривува, на начин што може да се опише со дисперзија на групата на материјалот. Општо кажано, различни честотни компоненти на брануваат патуваат со различни брзини, со побрзи компоненти кои се движат кон предниот дел на палубата и побавно се движат кон назад. Конечно, пакетот на бранови се испружува. Ова е важен ефект во ширењето на сигналите преку оптички влакна и во дизајнот на високомоќни, кратки пулсни ласери.

Историја

Идејата за групна брзина различна од фазната брзина на бранот за првпат била предложена од В.Р. Хамилтон во 1839 година, а првата целосна обработка била од страна на Рајлеј во неговата "Теорија на звукот" во 1877 година.

Други изрази

За светлина, показателот на прекршување $n$ , вакуумската бранова должина $λ 0$ и бранова должина во медиумот $λ$ , се поврзани со

\lambda _{0}={\frac {2\pi c}{\omega }},\;\;\lambda ={\frac {2\pi }{k}}={\frac {2\pi v_{p}}{\omega }},\;\;n={\frac {c}{v_{p}}}={\frac {\lambda _{0}}{\lambda }},

со $v p = ω / k$ фазната брзина. Групната брзина, според тоа, може да се пресмета со која било од следните формули,

{\begin{aligned}v_{g}&={\frac {c}{n+\omega {\frac {\partial n}{\partial \omega }}}}={\frac {c}{n-\lambda _{0}{\frac {\partial n}{\partial \lambda _{0}}}}}\\&=v_{p}\left(1+{\frac {\lambda }{n}}{\frac {\partial n}{\partial \lambda }}\right)=v_{p}-\lambda {\frac {\partial v_{p}}{\partial \lambda }}=v_{p}+k{\frac {\partial v_{p}}{\partial k}}.\end{aligned}}

Во три димензии

За брановите што патуваат низ три димензии, како што се светлите бранови, звучните бранови и математичките бранови, формулите за брзината на фазата и групата се генерализираат на директен начин: ^[5]

Една димензија:

v_{p}=\omega /k,\quad v_{g}={\frac {\partial \omega }{\partial k}},\,

Три димензии:

\mathbf {v} _{p}={\hat {\mathbf {k} }}{\frac {\omega }{|\mathbf {k} |}},\quad \mathbf {v} _{g}={\vec {\nabla }}_{\mathbf {k} }\,\omega \,

каде

{\vec {\nabla }}_{\mathbf {k} }\,\omega

значи градиент на аголната честота $ω$ како функција на брановиот вектор $\mathbf {k}$ и ${\hat {\mathbf {k} }}$ е единица вектор во насока $k$ . Ако брановите се размножуваат преку анизотропна (т.е. не вртежно симетрично), на пример кристалот, тогаш векторот на фазната брзина и векторот на векторот на групата може да посочат во различни насоки.

Во загуба или профитабилен медиум

Групната брзина често се смета за брзина во која енергијата или информациите се пренесуваат по бран. Во повеќето случаи ова е точно, а групата брзина може да се смета како сигнална брзина на бранот. Меѓутоа, ако бранот патува низ апсорптивен или профитабилен медиум, ова не секогаш се одржува. Во овие случаи, групната брзина можеби не е добро дефинирана количина, или не може да биде значајна количина. Во својот текст "Распространетост на бранови во периодични структури", Бриллуин тврди дека во дисипативен медиум групата брзина престанува да има јасно физичко значење. Примерот за пренос на електромагнетни бранови преку атомски гас го дава Лудон. Друг пример се механичките бранови во сончевата фотосфера: брановите се задушени (со радијативен проток на топлина од врвовите до коритата), а во врска со тоа, брзината на енергијата често е значително помала од групната брзина на брановите. И покрај оваа двосмисленост, заеднички начин да се прошири концептот на групна брзина на сложени медиуми е да се разгледаат просторно задушени решенија на рамни бранови во внатрешноста на медиумот, кои се одликуваат со сложени вредносни бранови. Потоа, имагинарниот дел од брановиот вектор е произволно отфрлен и вообичаената формула за групната брзина се применува на реалниот дел на брановиот вектор, односно:

v_{g}=\left({\frac {\partial (\operatorname {Re} k)}{\partial \omega }}\right)^{-1}.

Или, еквивалентно, во однос на реалниот дел од комплексниот показател на прекршување, $n$ = $n+iκ$ има ^[6]

{\frac {c}{v_{g}}}=n+\omega {\frac {\partial n}{\partial \omega }}.

Може да се покаже дека оваа генерализација на групната брзина и понатаму е поврзана со очигледната брзина на врвот на еден бран-пакет. Сепак, горенаведената дефиниција не е универзална, но алтернативно може да се разгледа временското амортизирање на стоечките бранови (реални $k$ , комплекс $ω$ ), или да дозволи групната брзина да биде комплексна вредност. Различни размислувања даваат различни брзини, но сепак сите дефиниции се согласуваат за случајот со загуба, без добивка. Горенаведеното генерализирање на групната брзина за сложени медиуми може да се однесуваат чудно, а примерот на аномална дисперзија служи како добра илустрација. На краевите на регионот на аномална дисперзија, $v_{g}$ becomes infinite (surpassing even the speed of light in vacuum) и $v_{g}$ лесно можат да станат негативни во рамките на аномалната дисперзија.

Суперлуминални групни брзини

Од 1980-тите години, различни експерименти потврдиле дека е можно групната брзина (како што е дефинирано погоре) на ласерските светлосни импулси испратени преку загуба материјали, или профитабилни материјали, значително да ја надмине брзината на светлината во вакуум $c$ . На врвовите на бранпакти, исто така, се гледа да се движат побрзо од $c$ . Во сите овие случаи, сепак, нема можност дека сигналите би можеле да се пренесат побрзо од брзината на светлината во вакуум, бидејќи високата вредност на $v$ _$g$ не помага да се забрза вистинското движење на острата бранова предница која ќе се појави на почетокот на било кој вистински сигнал. Во суштина, навидум суперлуминалниот пренос е артефакт на приближувањето на тесниот опсег употребен погоре за да се дефинира групната брзина и се случува поради резонантните феномени во интервенирачкиот медиум. Во поширока анализа се гледа дека очигледно парадоксалната брзина на пропагација на сигналниот плик е всушност резултат на локална интерференција на поширок опсег на честоти во текот на многу циклуси, од кои сите шират совршено каузално и со фазна брзина. Резултатот е сличен на фактот дека сенките можат да патуваат побрзо од светлината, дури и ако светлината која предизвикува нив секогаш се шири со брзина на светлина; бидејќи измерен феномен е само лабаво поврзан со каузалноста, тој не мора да ги почитува правилата за каузално размножување, дури и ако во нормални околности тоа го прави и води до заедничка интуиција.

Поврзано

Наводи

↑ Brillouin, Léon (2003) [1946], Wave Propagation in Periodic Structures: Electric Filters and Crystal Lattices, Dover, стр. 75, ISBN 978-0-486-49556-9
↑ Lighthill, James (2001) [1978], Waves in fluids, Cambridge University Press, стр. 242, ISBN 978-0-521-01045-0
↑ Lighthill (1965)
↑ Hayes (1973)
↑ Atmospheric and oceanic fluid dynamics: fundamentals and large-scale circulation, by Geoffrey K. Vallis, p239
↑ Boyd, R. W.; Gauthier, D. J. (2009). „Controlling the velocity of light pulses“ (PDF). Science. 326 (5956): 1074–7. Bibcode:2009Sci...326.1074B. doi:10.1126/science.1170885. PMID 19965419.

Надворешни врски

Greg Egan has an excellent Java applet on his web site Архивирано на 15 јуни 2005 г. that illustrates the apparent difference in group velocity from phase velocity.
Maarten Ambaum has a webpage with movie Архивирано на 4 мај 2019 г. demonstrating the importance of group velocity to downstream development of weather systems.
Phase vs. Group Velocity Архивирано на 10 мај 2017 г. – Various Phase- and Group-velocity relations (animation)

[1] Brillouin, Léon (2003) [1946], Wave Propagation in Periodic Structures: Electric Filters and Crystal Lattices, Dover, стр. 75, ISBN 978-0-486-49556-9

[2] Lighthill, James (2001) [1978], Waves in fluids, Cambridge University Press, стр. 242, ISBN 978-0-521-01045-0

[3] Lighthill (1965)

[4] Hayes (1973)

[5] Atmospheric and oceanic fluid dynamics: fundamentals and large-scale circulation, by Geoffrey K. Vallis, p239

[Boyd1170885-6] Boyd, R. W.; Gauthier, D. J. (2009). „Controlling the velocity of light pulses“ (PDF). Science. 326 (5956): 1074–7. Bibcode:2009Sci...326.1074B. doi:10.1126/science.1170885. PMID 19965419.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]