Trijstūra augstums

Trijstūra augstums ir nogrieznis, kas savieno trijstūra virsotni ar pretējo malu vai tās pagarinājumu un ar to veido taisnu leņķi.

Atkarībā no trijstūra veida, augstums var atrasties trijstūra iekšpusē (šaurleņķu trijstūrim), sakrist ar trijstūra malu (taisnleņķa trijstūrim) vai atrasties ārpus trijstūra (platleņķa trijstūrim). Visi trīs trijstūra augstumi krustojas vienā punktā, ko sauc par trijstūra ortocentru.

Formulas

Jebkuram trijstūrim

Ja trijstūra laukums ir S un vienas tā malas garums ir a, tad pret šo malu novilkta augstuma garums ir

h_{a}={\frac {2S}{a}}.

Ja a, b un c ir trijstūra malu garumi, tad pret šīm malām novilkto augstumu garumiem ir spēkā šādas attiecības:

h_{a}:h_{b}:h_{c}={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=bc:ac:ab.

Vienādsānu trijstūrim

Ja vienādsānu trijstūra pamata garums ir c, bet sānu malas garums ir a, tad no Pitagora teorēmas h_c² + (c/2)² = a² izriet, ka pret pamatu novilkta augstuma garums ir

h_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {4a^{2}-c^{2}}}.

Viviani teorēma- $m+n+l=h$ , kur $h$ ir trijstūra augstums

Regulāram trijstūrim

Ja trijstūris ir regulārs un visu tā malu garumi ir vienādi ar a, tad jebkura augstuma garums ir

$h={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}.$

Regulāram trijstūrim izpildās arī Viviani teorēma- no patvaļīga punkta $P$ iekšā trijstūrī, summa attālumiem līdz malām ir vienāda ar trijstūra augstumu.

Taisnleņķa trijstūrim

Taisnleņķa trijstūrī augstums h, kas novilkts no taisnā leņķa virsotnes pret hipotenūzu c, sadala trijstūri divos tam līdzīgos trijstūros. Ja šis augstums hipotenūzu sadala nogriežņos garumā n un m (kur nogrieznis n atrodas tuvāk malai a, bet m — tuvāk malai b), tad c/a = a/n un c/b = b/m. Šīs attiecības var pārrakstīt arī kā a² = cn un b² = cm. Ievietojot tās Pitagora teorēmā a² + b² = (n + m)², iegūst

h^{2}=nm.\,

Tā kā taisnleņķa trijstūra laukumu var aprēķināt gan kā S = hc/2, gan kā S = ab/2, tad

h=ab/c.\,

Skatīt arī

Ārējās saites

Eric W. Weisstein, Altitude, MathWorld.