최대 사후 확률 (最大事後確率, maximum a posteriori, MAP )은 베이즈 통계학 에서 사후 확률 (事後確率)의 최빈값 을 가리킨다. 최대 사후 확률에 대응하는 모수(母數, Parameter)는 최대우도 (最大尤度, maximum likelihood estimation, MLE)와 마찬가지로 모수의 점 추정 으로 사용할 수 있지만, 최대우도에서는 어떤 사건이 일어날 확률을 가장 높이는 모수를 찾는 것에 비해, 최대 사후 확률 모수는 모수의 사전 확률 (事前確率)과 결합된 확률을 고려한다는 점이 다르다.
어떤 모수
θ
{\displaystyle \theta }
사전 확률 분포가
p
(
θ
)
{\displaystyle p(\theta )}
f
(
x
|
θ
)
{\displaystyle f(x|\theta )}
x
{\displaystyle x}
베이즈 정리 에 의해 다음과 같이 계산할 수 있다.
p
(
θ
|
x
)
=
f
(
x
|
θ
)
p
(
θ
)
∫
f
(
x
|
θ
′
)
p
(
θ
′
)
d
θ
′
{\displaystyle p(\theta |x)={\frac {f(x|\theta )p(\theta )}{\displaystyle \int f(x|\theta ')p(\theta ')d\theta '}}}
여기에서
x
{\displaystyle x}
θ
{\displaystyle \theta }
θ
^
M
A
P
:=
a
r
g
m
a
x
θ
f
(
x
|
θ
)
p
(
θ
)
∫
f
(
x
|
θ
′
)
p
(
θ
′
)
d
θ
′
=
a
r
g
m
a
x
θ
f
(
x
|
θ
)
p
(
θ
)
{\displaystyle {\hat {\theta }}_{\mathrm {MAP} }:={\underset {\theta }{\operatorname {arg\,max} }}\ {\frac {f(x|\theta )p(\theta )}{\displaystyle \int f(x|\theta ')p(\theta ')\,d\theta '}}={\underset {\theta }{\operatorname {arg\,max} }}\ f(x|\theta )p(\theta )}
최대우도 의 정의
θ
^
M
L
:=
a
r
g
m
a
x
θ
f
(
x
|
θ
)
{\displaystyle {\hat {\theta }}_{\mathrm {ML} }:={\underset {\theta }{\operatorname {arg\,max} }}f(x|\theta )}
p
(
θ
)
{\displaystyle p(\theta )}
