비네 방정식

고전역학에서 비네 방정식(Binet equation)은 주어진 퍼텐셜에 대한 이체 문제의 궤도에 대한 이차 비선형 상미분 방정식이다.

역사

프랑스의 수학자 자크 필리프 마리 비네(프랑스어: Jacques Philippe Marie Binet)가 유도하였다.

정의

이체 문제는 일반적으로 환산 질량을 통해 일체 문제로 바꿀 수 있다. 즉, 일반적으로 다음과 같은 형태의 방정식을 얻는다.

$\mu {\ddot {\mathbf {r} }}=F(r){\hat {\mathbf {r} }}$.

여기서 $\mu$는 환산 질량이고, $\mathbf {r}$은 입자의 위치, $F(r)$는 입자에 가해지는 힘이다. 각운동량 보존에 의하여, 일반적으로 $\mathbf {r}$은 각운동량에 수직인 평면에 국한된다. 이 2차원 공간에 극좌표 $(r,\theta )$를 잡자. 그렇다면 입자의 궤도는 $r(\theta )$의 꼴로 나타낼 수 있다.

도움변수 $u(\theta )$를 $r$의 역수로 정의하자.

$u(\theta )=1/r(\theta )$.

그렇다면 $u$는 다음과 같은 미분 방정식을 만족한다. 이를 비네 방정식이라고 한다.

$u''+u+{\frac {\mu }{L^{2}u^{2}}}F(1/u)=0$.

여기서 $L$은 계의 (질량 중심으로부터의) 총 각운동량 $L=\mu r^{2}{\dot {\theta }}$이다.

같이 보기

• 일반 상대성 이론