립시츠 연속 함수

해석학에서 립시츠 연속 함수(영어: Lipschitz-continuous function)는 두 점 사이의 거리를 일정 비 이상으로 증가시키지 않는 함수이다. 이름은 독일의 수학자인 루돌프 립시츠의 이름을 땄다.

정의

두 거리 공간 $(X,d_{X})$, $(Y,d_{Y})$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$ 및 음이 아닌 실수 $K\geq 0$가 다음 조건을 만족시킨다면, $f$가 $K$-립시츠 연속 함수라고 한다.

• 임의의 $x,x'\in X$에 대하여, $d_{Y}(f(x),f(x'))\leq Kd_{X}(x,x')$

두 거리 공간 $(X,d_{X})$, $(Y,d_{Y})$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$가 적어도 하나의 음이 아닌 실수 $K\geq 0$에 대하여 $K$-립시츠 함수라면, $f$를 립시츠 연속 함수라고 한다.

성질

립시츠 연속 함수 $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$는 다음 조건들을 만족시킨다.

• 절대 연속 함수이다.
• 거의 어디서나 미분 가능 함수이다.
• 만약 $f$가 $K$-립시츠 함수라면, 거의 어디서나 $|f'|\leq K$이다.

미분 가능 함수 $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $f$는 립시츠 연속 함수이다.
• $\sup\{|f'(x)|\colon x\in \mathbb {R} \}<\infty$이다.

예

함수 ${\sqrt {}}\colon [0,1]\to \mathbb {R}$은 균등 연속 함수이지만 립시츠 연속 함수가 아니다.

참고 문헌

• Boris Hasselblatt, Anatole Katok (2003). A First Course in Dynamics: with a Panorama of Recent Developments, 1 edition, Cambridge University Press

같이 보기

• 횔더 연속 함수